En matemáticas , una presentación es un método para especificar un grupo . Una presentación de un grupo G comprende un conjunto S de generadores —de manera que cada elemento del grupo puede escribirse como un producto de las potencias de algunos de estos generadores— y un conjunto R de relaciones entre esos generadores. Luego decimos que G tiene presentación
De manera informal, G tiene la presentación anterior si es el "grupo más libre" generado por S sujeto sólo a las relaciones R. Formalmente, se dice que el grupo G tiene la presentación anterior si es isomorfo al cociente de un grupo libre en S por el subgrupo normal generado por las relaciones R.
gracias a la convención de que los términos que no incluyen un signo igual se toman como iguales a la identidad del grupo. Estos términos se denominan relatores , distinguiéndolos de las relaciones que incluyen un signo igual.
Cada grupo tiene una presentación y, de hecho, muchas presentaciones diferentes; una presentación es a menudo la forma más compacta de describir la estructura del grupo.
Un grupo libre en un conjunto S es un grupo en el que cada elemento puede describirse de forma única como un producto de longitud finita de la forma:
donde s i son elementos de S, s i adyacentes son distintos y a i son enteros distintos de cero (pero n puede ser cero). En términos menos formales, el grupo consta de palabras en los generadores y sus inversas , sujeto solo a cancelar un generador con una ocurrencia adyacente de su inversa.