Espacio pretopológico
En topología general , un espacio pretopológico es una generalización del concepto de espacio topológico . Un espacio pretopológico se puede definir en términos de filtros o de un operador de precierre . La noción similar, pero más abstracta, de una pretopología de Grothendieck se usa para formar una topología de Grothendieck y se trata en el artículo sobre ese tema.
Sea un conjunto. Un sistema de vecindad para una pretopología es una colección de filtros , uno para cada elemento de tal que cada conjunto contiene como miembro. Cada elemento de se denomina vecindad de Un espacio pretopológico es entonces un conjunto equipado con tal sistema de vecindad.
Una red converge a un punto en si eventualmente está en cada vecindad de
Un espacio pretopológico también se puede definir como un conjunto con un operador de precierre (operador de cierre Čech ). Se puede demostrar que las dos definiciones son equivalentes de la siguiente manera: define el cierre de un conjunto como el conjunto de todos los puntos tales que alguna red que converge a es eventualmente en Entonces se puede demostrar que el operador de cierre satisface los axiomas de un operador de precierre. A la inversa, sea un conjunto una vecindad de si no está en la clausura del complemento de El conjunto de todas esas vecindades puede demostrarse que es un sistema de vecindad para una pretopología.
Un mapa entre dos espacios pretopológicos es continuo si satisface para todos los subconjuntos
