Topología general

Rama de topología

La curva sinusoidal del topólogo , un ejemplo útil en topología de conjuntos de puntos. Está conectado pero no conectado a una ruta.

En matemáticas , la topología general es la rama de la topología que se ocupa de las definiciones y construcciones básicas de la teoría de conjuntos utilizadas en topología. Es la base de la mayoría de las otras ramas de la topología, incluida la topología diferencial , la topología geométrica y la topología algebraica . Otro nombre para la topología general es topología de conjuntos de puntos .

Los conceptos fundamentales en la topología de conjuntos de puntos son continuidad , compacidad y conectividad :

• Las funciones continuas , de forma intuitiva, llevan puntos cercanos a puntos cercanos.
• Los conjuntos compactos son aquellos que pueden cubrirse con un número finito de conjuntos de tamaño arbitrariamente pequeño.
• Los conjuntos conectados son conjuntos que no se pueden dividir en dos piezas que están muy separadas.

Los términos "cercano", "arbitrariamente pequeño" y "alejado" pueden precisarse utilizando el concepto de conjuntos abiertos . Si cambiamos la definición de 'conjunto abierto', cambiamos qué son funciones continuas, conjuntos compactos y conjuntos conectados. Cada elección de definición de 'conjunto abierto' se denomina topología . Un conjunto con una topología se denomina espacio topológico .

Los espacios métricos son una clase importante de espacios topológicos donde una distancia real, no negativa, también llamada métrica , se puede definir en pares de puntos en el conjunto. Tener una métrica simplifica muchas pruebas y muchos de los espacios topológicos más comunes son espacios métricos.

Historia

La topología general surgió de varias áreas, las más importantes son las siguientes:

• el estudio detallado de subconjuntos de la línea real (una vez conocida como topología de conjuntos de puntos ; este uso ahora es obsoleto)
• la introducción del concepto de colector
• el estudio de los espacios métricos , especialmente los espacios lineales normativos , en los primeros días del análisis funcional .

La topología general asumió su forma actual alrededor de 1940. Capta, podría decirse, casi todo en la intuición de la continuidad , en una forma técnicamente adecuada que puede aplicarse en cualquier área de las matemáticas.

Una topología en un conjunto

Artículo principal: espacio topológico

Deje que X sea un conjunto y dejar que τ ser una familia de subconjuntos de X . Entonces τ se llama topología en X si: ^{[1] [2]}

1. Tanto el conjunto vacío como X son elementos de τ
2. Cualquier unión de elementos de τ es un elemento de τ
3. Cualquier intersección de un número finito de elementos de τ es un elemento de τ

Si τ es una topología en X , entonces el par ( X , τ ) se denomina espacio topológico . La notación X _τ puede usarse para denotar un conjunto X dotado de la topología particular τ .

Los miembros de τ se llaman conjuntos abiertos en X . Se dice que un subconjunto de X está cerrado si su complemento está en τ (es decir, su complemento está abierto). Un subconjunto de X puede estar abierto, cerrado, ambos ( conjunto cerrado ) o ninguno. El conjunto vacío y la propia X siempre están cerrados y abiertos.

Base para una topología

Artículo principal: Base (topología)

A base de (o base ) B para un espacio topológico X con topología T es una colección de conjuntos abiertos en T de tal manera que cada conjunto abierto en T puede ser escrito como una unión de elementos de B . ^{[3] [4]} Nos dicen que la base genera la topología T . Las bases son útiles porque muchas propiedades de las topologías se pueden reducir a declaraciones sobre una base que genera esa topología, y porque muchas topologías se definen más fácilmente en términos de una base que las genera.

Subespacio y cociente

A cada subconjunto de un espacio topológico se le puede dar la topología del subespacio en la que los conjuntos abiertos son las intersecciones de los conjuntos abiertos del espacio más grande con el subconjunto. Para cualquier familia indexada de espacios topológicos, el producto puede recibir la topología del producto , que se genera mediante las imágenes inversas de conjuntos abiertos de los factores bajo las asignaciones de proyección . Por ejemplo, en productos finitos, una base para la topología del producto consiste en todos los productos de conjuntos abiertos. Para los productos infinitos, existe el requisito adicional de que en un conjunto abierto básico, todas sus proyecciones, excepto una finita, son el espacio completo.

Un espacio de cociente se define de la siguiente manera: si X es un espacio topológico e Y es un conjunto, y si f  : X → Y es una función sobreyectiva , entonces la topología del cociente en Y es la colección de subconjuntos de Y que tienen imágenes inversas abiertas bajo f . En otras palabras, la topología del cociente es la topología más fina en Y para la que f es continua. Un ejemplo común de una topología cociente es cuando una relación de equivalencia se define en el espacio topológico X . El mapaf es entonces la proyección natural sobre el conjunto de clases de equivalencia .

Ejemplos de espacios topológicos

Un conjunto dado puede tener muchas topologías diferentes. Si a un conjunto se le asigna una topología diferente, se lo considera un espacio topológico diferente.

Topologías discretas y triviales

A cualquier conjunto se le puede dar la topología discreta , en la que todos los subconjuntos están abiertos. Las únicas secuencias o redes convergentes en esta topología son las que eventualmente son constantes. Además, a cualquier conjunto se le puede dar la topología trivial (también llamada topología indiscreta), en la que solo el conjunto vacío y todo el espacio están abiertos. Cada secuencia y red en esta topología converge a cada punto del espacio. Este ejemplo muestra que en los espacios topológicos generales, los límites de las secuencias no necesitan ser únicos. Sin embargo, a menudo los espacios topológicos deben ser espacios de Hausdorff donde los puntos límite son únicos.

Topologías cofinitas y cocountables

A cualquier conjunto se le puede dar la topología cofinita en la que los conjuntos abiertos son el conjunto vacío y los conjuntos cuyo complemento es finito. Ésta es la topología T 1 más pequeña de cualquier conjunto infinito.

A cualquier conjunto se le puede dar la topología contable , en la que un conjunto se define como abierto si está vacío o su complemento es contable. Cuando el conjunto es incontable, esta topología sirve como contraejemplo en muchas situaciones.

Topologías en números reales y complejos

Hay muchas formas de definir una topología en R , el conjunto de números reales . La topología estándar en R es generada por los intervalos abiertos . El conjunto de todos los intervalos abiertos forma una base o base para la topología, lo que significa que cada conjunto abierto es una unión de alguna colección de conjuntos de la base. En particular, esto significa que un conjunto está abierto si existe un intervalo abierto de radio distinto de cero alrededor de cada punto del conjunto. De manera más general, a los espacios euclidianos R ⁿ se les puede dar una topología. En la topología habitual en R ^n, los conjuntos abiertos básicos son las bolas abiertas . Del mismo modo, C , el conjunto denúmeros complejos y C ⁿ tienen una topología estándar en la que los conjuntos abiertos básicos son bolas abiertas.

A la línea real también se le puede asignar la topología de límite inferior . Aquí, los conjuntos abiertos básicos son los intervalos semiabiertos [ a , b ). Esta topología en R es estrictamente más fina que la topología euclidiana definida anteriormente; una secuencia converge a un punto en esta topología si y solo si converge desde arriba en la topología euclidiana. Este ejemplo muestra que un conjunto puede tener muchas topologías distintas definidas en él.

La topología métrica

A cada espacio métrico se le puede dar una topología métrica, en la que los conjuntos abiertos básicos son bolas abiertas definidas por la métrica. Esta es la topología estándar en cualquier espacio vectorial normalizado . En un espacio vectorial de dimensión finita, esta topología es la misma para todas las normas.

Más ejemplos

• Existen numerosas topologías en cualquier conjunto finito dado . Estos espacios se denominan espacios topológicos finitos . Los espacios finitos se utilizan a veces para proporcionar ejemplos o contraejemplos de conjeturas sobre los espacios topológicos en general.
• Cada variedad tiene una topología natural , ya que es localmente euclidiana. De manera similar, todo simplex y todo complejo simplicial hereda una topología natural de R ⁿ .
• La topología de Zariski se define algebraicamente en el espectro de un anillo o una variedad algebraica . En R ⁿ o C ⁿ , los conjuntos cerrados de la topología de Zariski son los conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas .
• Un gráfico lineal tiene una topología natural que generaliza muchos de los aspectos geométricos de los gráficos con vértices y aristas .
• Muchos conjuntos de operadores lineales en el análisis funcional están dotados de topologías que se definen especificando cuándo una secuencia particular de funciones converge a la función cero.
• Cualquier campo local tiene una topología nativa, y esto puede extenderse a espacios vectoriales sobre ese campo.
• El espacio de Sierpiński es el espacio topológico no discreto más simple. Tiene importantes relaciones con la teoría de la computación y la semántica.
• Si Γ es un número ordinal , entonces el conjunto Γ = [0, Γ) puede estar dotado de la topología de orden generada por los intervalos ( a ,  b ), [0,  b ) y ( a , Γ) donde a y b son elementos de Γ.

Funciones continuas

Artículo principal: función continua

La continuidad se expresa en términos de barrios : f es continua en un cierto punto x  ∈  X si y sólo si para cualquier vecindad V de f ( x ) , existe un entorno U de x tal que f ( U ) ⊆  V . Intuitivamente, la continuidad significa que no importa cuán "pequeño" se vuelva V , siempre hay una U que contiene x que se mapea dentro de V y cuya imagen debajo de f contiene f ( x ). Esto es equivalente a la condición de que los preimages de los conjuntos abiertos (cerrados) en Y están abiertos (cerrado) en X . En espacios métricos, esta definición es equivalente a la definición ε – δ que se usa a menudo en el análisis.

Un ejemplo extremo: si a un conjunto X se le da la topología discreta , todas las funciones

${\displaystyle f\colon X\rightarrow T}$

a cualquier espacio topológico T son continuos. Por otro lado, si X está equipado con la topología indiscreta y el espacio T establecido es al menos T 0 , entonces las únicas funciones continuas son las funciones constantes. Por el contrario, cualquier función cuyo alcance sea indiscreto es continua.

Definiciones alternativas

Existen varias definiciones equivalentes para una estructura topológica y, por lo tanto, hay varias formas equivalentes de definir una función continua.

Definición de barrio

Las definiciones basadas en imágenes previas a menudo son difíciles de usar directamente. El siguiente criterio expresa continuidad en términos de barrios : f es continua en un cierto punto x  ∈  X si y sólo si para cualquier vecindad V de f ( x ), existe un entorno U de x tal que f ( U ) ⊆  V . Intuitivamente, medios de continuidad no importa cómo "pequeña" V se convierte, siempre hay una U que contiene x que mapea el interior V .

Si X y Y son espacios métricos, es equivalente a considerar la base de entornos de bolas abiertas centradas en x y f ( x ) en lugar de todos los barrios. Esto devuelve la definición anterior de δ-ε de continuidad en el contexto de espacios métricos. Sin embargo, en los espacios topológicos generales, no existe la noción de cercanía o distancia.

Sin embargo, tenga en cuenta que si el espacio objetivo es Hausdorff , sigue siendo cierto que f es continua en a si y solo si el límite de f cuando x se acerca a a es f ( a ). En un punto aislado, cada función es continua.

Secuencias y redes

En varios contextos, la topología de un espacio se especifica convenientemente en términos de puntos límite . En muchos casos, esto se logra especificando cuándo un punto es el límite de una secuencia , pero para algunos espacios que son demasiado grandes en algún sentido, se especifica también cuándo un punto es el límite de conjuntos más generales de puntos indexados por una secuencia dirigida. conjunto , conocido como redes . ^[5] Una función es continua solo si lleva límites de secuencias a límites de secuencias. En el primer caso, la preservación de los límites también es suficiente; en el segundo, una función puede preservar todos los límites de las secuencias y aun así dejar de ser continua, y la preservación de las redes es una condición necesaria y suficiente.

En detalle, una función f : X → Y es secuencialmente continua si siempre que una secuencia ( x _n ) en X converge a un límite x , la secuencia ( f ( x _n )) converge af ( x ). ^[6] Por lo tanto, las funciones secuencialmente continuas "preservan los límites secuenciales". Cada función continua es secuencialmente continua. Si X es un primer espacio contable y una elección contablese cumple, entonces también se cumple lo contrario: cualquier función que preserve los límites secuenciales es continua. En particular, si X es un espacio métrico, la continuidad secuencial y la continuidad son equivalentes. Para los espacios que no se cuentan por primera vez, la continuidad secuencial puede ser estrictamente más débil que la continuidad. (Los espacios para los que las dos propiedades son equivalentes se denominan espacios secuenciales ). Esto motiva la consideración de redes en lugar de secuencias en los espacios topológicos generales. Las funciones continuas conservan los límites de las redes y, de hecho, esta propiedad caracteriza a las funciones continuas.

Definición de operador de cierre

En lugar de especificar los subconjuntos abiertos de un espacio topológico, la topología también puede ser determinada por un operador de cierre (denotado cl), que asigna a cualquier subconjunto A ⊆ X su cierre , o un operador interior (denotado int), que asigna a cualquier subconjunto A de X su interior . En estos términos, una función

${\displaystyle f\colon (X,\mathrm {cl} )\to (X',\mathrm {cl} ')\,}$

entre espacios topológicos es continuo en el sentido anterior si y solo si para todos los subconjuntos A de X

${\displaystyle f(\mathrm {cl} (A))\subseteq \mathrm {cl} '(f(A)).}$

Es decir, dado cualquier elemento x de X que esté en el cierre de cualquier subconjunto A , f ( x ) pertenece al cierre de f ( A ). Esto es equivalente al requisito de que para todos los subconjuntos A 'de X '

${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {cl} '(A'))\supseteq \mathrm {cl} (f^{-1}(A')).}$

Es más,

${\displaystyle f\colon (X,\mathrm {int} )\to (X',\mathrm {int} ')\,}$

es continuo si y solo si

${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {int} '(A))\subseteq \mathrm {int} (f^{-1}(A))}$

para cualquier subconjunto A de X .

Propiedades

Si f : X → Y y g : Y → Z son continuas, entonces también lo es la composición g ∘ f : X → Z . Si f : X → Y es continuo y

• X es compacto , entonces f ( X ) es compacto.
• X está conectado , luego f ( X ) está conectado.
• X está conectado con la ruta , luego f ( X ) está conectado con la ruta.
• X es Lindelöf , luego f ( X ) es Lindelöf.
• X es separable , entonces f ( X ) es separable.

Las posibles topologías en un conjunto fijo X están parcialmente ordenadas : una topología τ ₁ se dice que es más gruesa que otra topología τ ₂ (notación: τ ₁ ⊆ τ ₂ ) si cada subconjunto abierto con respecto a τ ₁ también está abierto con respecto a τ ₂ . Luego, el mapa de identidad

id _X : ( X , τ ₂ ) → ( X , τ ₁ )

es continuo si y solo si τ ₁ ⊆ τ ₂ (ver también comparación de topologías ). De manera más general, una función continua

${\displaystyle (X,\tau _{X})\rightarrow (Y,\tau _{Y})}$

permanece continuo si la topología τ _Y se reemplaza por una topología más gruesa y / o τ _X se reemplaza por una topología más fina .

Homeomorfismos

Simétrico al concepto de mapa continuo es un mapa abierto , para el cual se abren imágenes de conjuntos abiertos. De hecho, si un mapa abierto f tiene una función inversa , esa inversa es continua, y si un mapa continuo g tiene una inversa, esa inversa es abierta. Dada una función biyectiva f entre dos espacios topológicos, la función inversa f ⁻¹ no necesita ser continua. Una función continua biyectiva con función inversa continua se llama homeomorfismo .

Si una biyección continua tiene como dominio un espacio compacto y su codominio es Hausdorff , entonces es un homeomorfismo.

Definición de topologías mediante funciones continuas

Dada una función

${\displaystyle f\colon X\rightarrow S,\,}$

donde X es un espacio topológico y S es un conjunto (sin una topología especificada), la topología final en S se define dejando que los conjuntos abiertos de S sean aquellos subconjuntos A de S para los cuales f ⁻¹ ( A ) está abierto en X . Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y sólo si la topología existente es más gruesa que la topología final sobre S . Por lo tanto, la topología final se puede caracterizar como la mejor topología en S que hacef continuo. Si f es sobreyectiva , esta topología se identifica canónicamente con la topología del cociente bajo la relación de equivalencia definida por f .

Dually, para una función f de un conjunto S de un espacio topológico, la topología inicial en S tiene como subconjuntos abiertos A de S esos subconjuntos para el que f ( A ) está abierto en X . Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y sólo si la topología existente es más fina que la topología inicial en S . Por lo tanto, la topología inicial se puede caracterizar como la topología más burda en S que hace que f sea continua. Si fes inyectiva, esta topología se identifica canónicamente con la topología del subespacio de S , visto como un subconjunto de X .

Una topología en un conjunto S se determina de forma única por la clase de todas las funciones continuas en todos los espacios topológico X . Dualmente , se puede aplicar una idea similar a los mapas.${\displaystyle S\rightarrow X}$${\displaystyle X\rightarrow S.}$

Conjuntos compactos

Artículo principal: Compacto (matemáticas)

Formalmente, un espacio topológico X se llama compacto si cada una de sus cubiertas abiertas tiene una subcubierta finita . De lo contrario, se llama no compacto . Explícitamente, esto significa que para cada colección arbitraria

${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$

de subconjuntos abiertos de X tal que

${\displaystyle X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha },}$

hay un subconjunto finito J de A tal que

${\displaystyle X=\bigcup _{i\in J}U_{i}.}$

Algunas ramas de las matemáticas, como la geometría algebraica , típicamente influenciadas por la escuela francesa de Bourbaki , usan el término cuasi-compacto para la noción general, y reservan el término compacto para espacios topológicos que son tanto de Hausdorff como cuasi-compactos . Un conjunto compacto a veces se denomina compactum , plural compacta .

Todo intervalo cerrado en R de longitud finita es compacto . Más es cierto: en R ⁿ , un conjunto es compacto si y solo si está cerrado y acotado. (Véase el teorema de Heine-Borel ).

Cada imagen continua de un espacio compacto es compacta.

Un subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff está cerrado.

Cada biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es necesariamente un homeomorfismo .

Cada secuencia de puntos en un espacio métrico compacto tiene una subsecuencia convergente.

Cada variedad compacta de dimensión finita se puede incrustar en algún espacio euclidiano R ⁿ .

Conjuntos conectados

Artículo principal: espacio conectado

Se dice que un espacio topológico X está desconectado si es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos . De lo contrario, se dice que X está conectado . Se dice que un subconjunto de un espacio topológico está conectado si está conectado bajo su topología subespacial . Algunos autores excluyen el conjunto vacío (con su topología única) como un espacio conectado, pero este artículo no sigue esa práctica.

Para un espacio topológico X, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. X está conectado.
2. X no se puede dividir en dos conjuntos cerrados separados no vacíos .
3. Los únicos subconjuntos de X que son tanto abiertos como cerrados ( conjuntos abiertos ) son X y el conjunto vacío.
4. Los únicos subconjuntos de X con límite vacío son X y el conjunto vacío.
5. X no se puede escribir como la unión de dos conjuntos separados no vacíos .
6. Las únicas funciones continuas de X a {0,1}, el espacio de dos puntos dotado de topología discreta, son constantes.

Cada intervalo en R está conectado .

La imagen continua de un conectado espacio está conectado.

Componentes conectados

Los subconjuntos conectados máximos (ordenados por inclusión ) de un espacio topológico no vacío se denominan componentes conectados del espacio. Los componentes de cualquier espacio topológico X forman una partición de  X : son disjuntos , no vacíos y su unión es el espacio completo. Cada componente es un subconjunto cerrado del espacio original. De ello se deduce que, en el caso de que su número sea finito, cada componente es también un subconjunto abierto. Sin embargo, si su número es infinito, este podría no ser el caso; por ejemplo, los componentes conectados del conjunto de los números racionales son los conjuntos de un punto, que no son abiertos.

Sea el componente conectado de x en un espacio topológico X , y sea ​​la intersección de todos los conjuntos abiertos-cerrados que contienen x (llamado cuasi-componente de x ). Entonces, donde se cumple la igualdad si X es un Hausdorff compacto o está conectado localmente.${\displaystyle \Gamma _{x}}$${\displaystyle \Gamma _{x}'}$${\displaystyle \Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}}$

Espacios desconectados

Un espacio en el que todos los componentes son conjuntos de un punto se denomina totalmente desconectado . En cuanto a esta propiedad, un espacio X se llama totalmente separado si, por cualquiera de los dos elementos distintos x y y de X , existen disjuntos entornos abiertos U de x y V de Y tal que X es la unión de U y V . Claramente, cualquier espacio totalmente separado está totalmente desconectado, pero no ocurre lo contrario. Por ejemplo, tome dos copias de los números racionales Qe identificarlos en todos los puntos excepto en cero. El espacio resultante, con la topología del cociente, está totalmente desconectado. Sin embargo, al considerar las dos copias de cero, se ve que el espacio no está totalmente separado. De hecho, ni siquiera es Hausdorff , y la condición de estar totalmente separado es estrictamente más fuerte que la condición de ser Hausdorff.

Conjuntos conectados a la ruta

Este subespacio de R ² es trayectoria-conectado, ya que un camino puede ser trazada entre dos puntos cualquiera en el espacio.

Un camino desde un punto X hasta un punto y en un espacio topológico X es una función continua f del intervalo de la unidad [0,1] a X con f (0) = x y f (1) = y . Un camino-componente de X es una clase de equivalencia de X bajo la relación de equivalencia , lo que hace x equivalente a y si hay un camino desde x a y. El espacio X se dice que es trayectoria-conectado (o PathWise conectado o 0 conectado- ) si hay a lo sumo un camino-componente, es decir, si hay un camino que une dos puntos en X . Nuevamente, muchos autores excluyen el espacio vacío.

Cada espacio conectado a un camino está conectado. Lo contrario no siempre es cierto: ejemplos de espacios conectados que no están conectados por caminos incluyen la línea larga extendida L * y la curva sinusoidal del topólogo .

Sin embargo, los subconjuntos de la línea real R están conectados si y solo si están conectados por una ruta; estos subconjuntos son los intervalos de R . Además, los subconjuntos abiertos de R ⁿ o C ⁿ están conectados si y solo si están conectados por una ruta. Además, la conectividad y la ruta de conexión son las mismas para los espacios topológicos finitos .

Productos de espacios

Artículo principal: topología del producto

Dado X tal que

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i},}$

es el producto cartesiano de los espacios topológicos X _i , indexados por , y las proyecciones canónicas p _i  : X → X _i , la topología del producto en X se define como la topología más burda (es decir, la topología con la menor cantidad de conjuntos abiertos) para la cual todos las proyecciones p _i son continuas . La topología del producto a veces se denomina topología de Tychonoff .${\displaystyle i\in I}$

Los conjuntos abiertos en la topología del producto son uniones (finitas o infinitas) de conjuntos de la forma , donde cada U _i está abierto en X _i y U _i  ≠  X _i solo un número finito de veces. En particular, para un producto finito (en particular, para el producto de dos espacios topológicos), los productos de los elementos base de X _i dan una base para el producto .${\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$

La topología del producto en X es la topología generada por conjuntos de la forma p _i ⁻¹ ( U ), donde i está en I y U es un subconjunto abierto de X _i . En otras palabras, los conjuntos { p _i ^-1 ( U )} forman una subbase para la topología en X . Un subconjunto de X está abierto si y solo si es una unión (posiblemente infinita) de intersecciones de un número finito de conjuntos de la forma p _i ⁻¹ (U ). Los p _i ⁻¹ ( U ) a veces se denominan cilindros abiertos y sus intersecciones son conjuntos de cilindros .

En general, el producto de las topologías de cada X _i forma una base para lo que se llama la topología de la caja en X . En general, la topología de caja es más fina que la topología de producto, pero para productos finitos coinciden.

Relacionada con la compacidad es el teorema de Tychonoff : la (arbitraria) producto de espacios compactos es compacto.

Axiomas de separación

Artículo principal: axioma de separación

Muchos de estos nombres tienen significados alternativos en parte de la literatura matemática, como se explica en Historia de los axiomas de separación ; por ejemplo, los significados de "normal" y "T ₄ " a veces se intercambian, de manera similar "regular" y "T ₃ ", etc. Muchos de los conceptos también tienen varios nombres; sin embargo, el que aparece en primer lugar es siempre menos probable que sea ambiguo.

La mayoría de estos axiomas tienen definiciones alternativas con el mismo significado; las definiciones dadas aquí caen en un patrón consistente que relaciona las diversas nociones de separación definidas en la sección anterior. Otras posibles definiciones se pueden encontrar en los artículos individuales.

En todas las siguientes definiciones, X es nuevamente un espacio topológico .

• X es T 0 , o Kolmogorov , si dos puntos distintos en X son topológicamente distinguibles . (Es un tema común entre los axiomas de separación tener una versión de un axioma que requiere T ₀ y una versión que no).
• X es T 1 , o accesible o Fréchet , si dos puntos distintos en X están separados. Por tanto, X es T ₁ si y solo si es tanto T ₀ como R ₀ . (Aunque puede decir cosas como espacio T ₁ , topología de Fréchet y Suponga que el espacio topológico X es Fréchet , evite decir espacio de Fréchet en este contexto, ya que hay otra noción completamente diferente de espacio de Fréchet en el análisis funcional ).
• X es Hausdorff , o T ₂ o está separado , si dos puntos distintos en X están separados por vecindarios. Por tanto, X es Hausdorff si y solo si es tanto T ₀ como R ₁ . Un espacio de Hausdorff también debe ser T ₁ .
• X es T 2½ , o Urysohn , si dos puntos distintos en X están separados por vecindarios cerrados. AT _2½ espacio también debe ser Hausdorff.
• X es regular , o T ₃ , si es T ₀ y si se le da un punto x y un conjunto cerrado F en X tal que x no pertenece a F , están separados por vecindarios. (De hecho, en un espacio regular, cualquier x y F también están separados por vecindarios cerrados).
• X es Tychonoff , o T _3½ , completamente T ₃ , o completamente regular , si es T ₀ y si f, dado cualquier punto x y el conjunto cerrado F en X tal que x no pertenece a F , están separados por un continuo función.
• X es normal , o T ₄ , si es Hausdorff y si dos subconjuntos cerrados disjuntos de X están separados por vecindarios. (De hecho, un espacio es normal si y solo si dos conjuntos cerrados disjuntos pueden separarse mediante una función continua; este es el lema de Urysohn ).
• X es completamente normal , o T ₅ o completamente T ₄ , si es T ₁ y si dos conjuntos separados están separados por vecindarios. Un espacio completamente normal también debe ser normal.
• X es perfectamente normal , o T ₆ o perfectamente T ₄ , si es T ₁ y si cualesquiera dos conjuntos cerrados disjuntos están separados con precisión por una función continua. Un espacio de Hausdorff perfectamente normal también debe ser un Hausdorff completamente normal.

El teorema de la extensión de Tietze : en un espacio normal, cada función continua de valor real definida en un subespacio cerrado puede extenderse a un mapa continuo definido en todo el espacio.

Axiomas de contabilización

Artículo principal: axioma de contabilidad

Un axioma de contabilidad es una propiedad de ciertos objetos matemáticos (generalmente en una categoría ) que requiere la existencia de un conjunto contable con ciertas propiedades, mientras que sin él tales conjuntos podrían no existir.

Axiomas de contabilidad importantes para espacios topológicos :

• espacio secuencial : un conjunto está abierto si cada secuencia convergente a un punto del conjunto está finalmente en el conjunto
• primer espacio contable : cada punto tiene una base de vecindario contable (base local)
• segundo espacio contable : la topología tiene una base contable
• espacio separable : existe un subespacio denso contable
• Espacio Lindelöf : cada tapa abierta tiene una subtapa contable
• σ-espacio compacto : existe una cubierta contable por espacios compactos

Relaciones:

• Cada primer espacio contable es secuencial.
• Cada segundo espacio contable es primero contable, separable y Lindelöf.
• Cada espacio σ-compacto es Lindelöf.
• Un espacio métrico es contable primero.
• Para los espacios métricos, la segunda contabilidad, la separabilidad y la propiedad de Lindelöf son todas equivalentes.

Espacios métricos

Artículo principal: espacio métrico

Un espacio métrico ^[7] es un par ordenado , donde es un conjunto y es una métrica en , es decir, una función${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

de modo que para cualquiera , se cumple lo siguiente:${\displaystyle x,y,z\in M}$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$     ( no negativo ),
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\,}$ iff     ( identidad de indiscernibles ),${\displaystyle x=y\,}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,}$     ( simetría ) y
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$     ( desigualdad triangular ).

La función también se llama función de distancia o simplemente distancia . A menudo, se omite y solo se escribe para un espacio métrico si del contexto queda claro qué métrica se usa.${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$

Cada espacio métrico es paracompacto y Hausdorff , y por lo tanto normal .

Los teoremas de metrización proporcionan las condiciones necesarias y suficientes para que una topología provenga de una métrica.

Teorema de la categoría de Baire

Artículo principal: teorema de la categoría de Baire

El teorema de la categoría de Baire dice: si X es un espacio métrico completo o un espacio de Hausdorff localmente compacto , entonces el interior de cada unión de innumerables conjuntos densos en ninguna parte está vacío. ^[8]

Cualquier subespacio abierto de un espacio de Baire es en sí mismo un espacio de Baire.

Principales áreas de investigación

Tres iteraciones de una construcción de curva de Peano, cuyo límite es una curva que llena el espacio. La curva de Peano se estudia en la teoría del continuo , una rama de la topología general .

Teoría del continuo

Artículo principal: Continuum (topología)

Un continuo (pl continua ) es un espacio métrico conectado compacto no vacío , o menos frecuentemente, un espacio de Hausdorff conectado compacto . La teoría del continuo es la rama de la topología dedicada al estudio de los continuos. Estos objetos surgen con frecuencia en casi todas las áreas de topología y análisis , y sus propiedades son lo suficientemente fuertes como para producir muchas características "geométricas".

Sistemas dinámicos

Artículo principal: Dinámica topológica

La dinámica topológica se refiere al comportamiento de un espacio y sus subespacios a lo largo del tiempo cuando se somete a cambios continuos. Muchos ejemplos con aplicaciones a la física y otras áreas de las matemáticas incluyen la dinámica de fluidos , el billar y los flujos en colectores. Las características topológicas de los fractales en geometría fractal, de los conjuntos de Julia y del conjunto de Mandelbrot que surgen en dinámicas complejas , y de los atractores en ecuaciones diferenciales, son a menudo críticas para comprender estos sistemas. ^{[ cita requerida ]}

Topología sin sentido

Artículo principal: topología sin sentido

Topología sin puntos (también llamado pointfree o topología pointfree ) es un enfoque de la topología que evita mencionar puntos. El nombre 'topología sin sentido' se debe a John von Neumann . ^[9] Las ideas de la topología sin sentido están estrechamente relacionadas con las mereotopologías , en las que las regiones (conjuntos) se tratan como fundamentales sin una referencia explícita a los conjuntos de puntos subyacentes.

Teoría de la dimensión

Artículo principal: Teoría de la dimensión

La teoría de las dimensiones es una rama de la topología general que se ocupa de las invariantes dimensionales de los espacios topológicos .

Álgebras topológicas

Artículo principal: Álgebra topológica

Un álgebra topológica A sobre un campo topológico K es un espacio vectorial topológico junto con una multiplicación continua

${\displaystyle \cdot :A\times A\longrightarrow A}$

${\displaystyle (a,b)\longmapsto a\cdot b}$

que lo convierte en un álgebra sobre K . Un álgebra topológica asociativa unital es un anillo topológico .

El término fue acuñado por David van Dantzig ; aparece en el título de su tesis doctoral (1931).

Teoría de la metrizabilidad

Artículo principal: teorema de metrización

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio metrizable es un espacio topológico que es homeomorfo a un espacio métrico . Es decir, se dice que un espacio topológico es metrizable si hay una métrica ${\displaystyle (X,\tau )}$

${\displaystyle d\colon X\times X\to [0,\infty )}$

tal que la topología inducida por d sea . Los teoremas de metrización son teoremas que dan condiciones suficientes para que un espacio topológico sea metrizable.${\displaystyle \tau }$

Topología de teoría de conjuntos

Artículo principal: topología de teoría de conjuntos

La topología de la teoría de conjuntos es un tema que combina la teoría de conjuntos y la topología general. Se centra en cuestiones topológicas que son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC). Un problema famoso es la cuestión del espacio de Moore normal , una cuestión de topología general que fue objeto de una intensa investigación. Finalmente se demostró que la respuesta a la pregunta espacial normal de Moore era independiente de ZFC.

Ver también

• Lista de ejemplos en topología general
• Glosario de topología general para definiciones detalladas
• Lista de temas de topología general para artículos relacionados
• Categoría de espacios topológicos

Referencias

1. Munkres, James R. Topología. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
2. Adams, Colin Conrad y Robert David Franzosa. Introducción a la topología: pura y aplicada. Pearson Prentice Hall, 2008.
3. Merrifield, Richard E .; Simmons, Howard E. (1989). Métodos topológicos en química . Nueva York: John Wiley & Sons. pp.  16 . ISBN 0-471-83817-9. Consultado el 27 de julio de 2012 . Definición. Una colección B de subconjuntos de un espacio topológico (X, T) se llama una base de T si cada conjunto abierto se puede expresar como una unión de miembros de B .
4. Armstrong, MA (1983). Topología básica . Saltador. pag. 30. ISBN 0-387-90839-0. Consultado el 13 de junio de 2013 . Suponga que tenemos una topología en un conjunto X , y una colección de conjuntos abiertos tal que cada conjunto abierto es una unión de miembros de . Entonces se llama base para la topología ...${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$
5. Moore, EH ; Smith, HL (1922). "Una teoría general de los límites". Revista Estadounidense de Matemáticas . 44 (2): 102-121. doi : 10.2307 / 2370388 . JSTOR 2370388 . 
6. Heine, E. (1872). "Die Elemente der Functionenlehre". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 74 : 172-188.
7. Maurice Fréchet introdujo los espacios métricos en su obra Sur quelques points du calcul fonctionnel , Rendic. Circ. Estera. Palermo 22 (1906) 1–74.
8. R. Baire. Sur les fonctions de variables réelles. Ana. di Mat., 3: 1-123, 1899.
9. Garrett Birkhoff, VON NEUMANN Y LA TEORÍA DE LATTICE , John Von Neumann 1903-1957 , JC Oxtoley, BJ Pettis, American Mathematical Soc., 1958, página 50-5

Lectura adicional

Algunos libros estándar sobre topología general incluyen:

• Bourbaki , Topologie Générale ( Topología general ), ISBN 0-387-19374-X . 
• John L. Kelley (1955) General Topology , enlace de Internet Archive , publicado originalmente por David Van Nostrand Company.
• Stephen Willard , topología general , ISBN 0-486-43479-6 . 
• James Munkres , Topología , ISBN 0-13-181629-2 . 
• George F. Simmons , Introducción a la topología y al análisis moderno , ISBN 1-575-24238-9 . 
• Paul L. Shick , Topología: conjunto de puntos y geométrico , ISBN 0-470-09605-5 . 
• Ryszard Engelking , topología general , ISBN 3-88538-006-4 . 
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR  0507446
• O.Ya. Viro, OA Ivanov, VM Kharlamov y N.Yu. Netsvetaev, Topología elemental: libro de texto en problemas , ISBN 978-0-8218-4506-6 . 
• Formas topológicas y su significado por KARousan arvXiv id- 1905.13481

El arXiv código sujeto es math.GN .

Enlaces externos

• Medios relacionados con la topología general en Wikimedia Commons