Operador de cierre previo

En topología , un operador de cierre previo u operador de cierre Čech es un mapa entre subconjuntos de un conjunto, similar a un operador de cierre topológico , excepto que no se requiere que sea idempotente . Es decir, un operador de cierre previo obedece solo a tres de los cuatro axiomas de cierre de Kuratowski .

Definición

Un operador de cierre previo en un set es un mapa ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle [\ quad] _ {p}}$

{\ Displaystyle [\ quad] _ {p}: {\ mathcal {P}} (X) \ a {\ mathcal {P}} (X)}

donde está el conjunto de poder de . ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ Displaystyle X}$

El operador de precierre debe satisfacer las siguientes propiedades:

${\ Displaystyle [\ varnothing] _ {p} = \ varnothing \!}$ (Conservación de uniones nulares);
${\ Displaystyle A \ subseteq [A] _ {p}}$ (Extensividad);
${\ Displaystyle [A \ cup B] _ {p} = [A] _ {p} \ cup [B] _ {p}}$ (Conservación de uniones binarias).

El último axioma implica lo siguiente:

4. implica .

{\ Displaystyle A \ subseteq B}

[A]_{p}\subseteq [B]_{p}

Topología

Un conjunto está cerrado (con respecto al precierre) si . Un conjunto está abierto (con respecto al precierre) si está cerrado. La colección de todos los conjuntos abiertos generados por el operador de cierre previo es una topología; ^[1] sin embargo, la topología anterior no captura la noción de convergencia asociada al operador, se debe considerar una pretopología en su lugar. ^[2] $A$ $[A]_{p}=A$ $U\subset X$ $A=X\setminus U$

Ejemplos de

Premétricas

Dada una premetric en , a continuación, $d$ $X$

[A]_{p}=\{x\in X:d(x,A)=0\}

es un precierre en . $X$

Espacios secuenciales

El operador de cierre secuencial es un operador de precierre. Dada una topología con respecto a la cual se define el operador de cierre secuencial, el espacio topológico es un espacio secuencial si y solo si la topología generada por es igual a , es decir, si . $[\quad ]_{\text{seq}}$ ${\mathcal {T}}$ $(X,{\mathcal {T}})$ ${\mathcal {T}}_{\text{seq}}$ $[\quad ]_{\text{seq}}$ ${\mathcal {T}}$ ${\mathcal {T}}_{\text{seq}}={\mathcal {T}}$

Ver también

Eduard Čech

Referencias

^ Eduard Čech, Zdeněk Frolík, Miroslav Katětov, Espacios topológicos Praga: Academia, Editorial de la Academia de Ciencias de Checoslovaquia , 1966, Teorema 14 A.9 [1] .
^ S. Dolecki, Una iniciación en la teoría de la convergencia , en F. Mynard, E. Pearl (editores), Más allá de la topología , AMS, Matemáticas contemporáneas, 2009.

AV Arkhangelskii, LSPontryagin, Topología general I , (1990) Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-18178-4 .
B. Banascheski, reconsideración del lema del punto de fijación de Bourbaki , comentario. Matemáticas. Univ. Carolinae 33 (1992), 303-309.

[1] Eduard Čech, Zdeněk Frolík, Miroslav Katětov, Espacios topológicos Praga: Academia, Editorial de la Academia de Ciencias de Checoslovaquia , 1966, Teorema 14 A.9 [1] .

[2] S. Dolecki, Una iniciación en la teoría de la convergencia , en F. Mynard, E. Pearl (editores), Más allá de la topología , AMS, Matemáticas contemporáneas, 2009.

[1]