Dualidad (optimización)

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En la teoría de la optimización matemática , la dualidad o el principio de dualidad es el principio de que los problemas de optimización pueden verse desde cualquiera de dos perspectivas, el problema primario o el problema dual . La solución al problema dual proporciona un límite inferior a la solución del problema primal (minimización). ^[1] Sin embargo, en general, los valores óptimos de los problemas primal y dual no tienen por qué ser iguales. Su diferencia se llama brecha de dualidad . Para problemas de optimización convexos , la brecha de dualidad es cero bajo una condición de calificación de restricción .

Por lo general, el término "problema dual" se refiere al problema dual de Lagrangian, pero se utilizan otros problemas duales, por ejemplo, el problema dual de Wolfe y el problema dual de Fenchel . El problema dual lagrangiano se obtiene formando el lagrangiano de un problema de minimización usando multiplicadores de Lagrange no negativospara agregar las restricciones a la función objetivo y luego resolver los valores de las variables primarias que minimizan la función objetivo original. Esta solución da las variables primarias como funciones de los multiplicadores de Lagrange, que se denominan variables duales, por lo que el nuevo problema es maximizar la función objetivo con respecto a las variables duales bajo las restricciones derivadas de las variables duales (incluyendo al menos la no negatividad restricciones).

En general, dados dos pares duales de espacios separados localmente convexos y la función , podemos definir el problema primal como encontrar tal que En otras palabras, si existe, es el mínimo de la función y el ínfimo (mayor límite inferior) de la función se logra${\displaystyle \left(X,X^{*}\right)}$${\displaystyle \left(Y,Y^{*}\right)}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle f({\hat {x}})=\inf _{x\in X}f(x).\,}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle f({\hat {x}})}$${\displaystyle f}$

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