aritmética ordinal
En el campo matemático de la teoría de conjuntos , la aritmética ordinal describe las tres operaciones usuales en números ordinales : suma , multiplicación y exponenciación . Cada uno se puede definir esencialmente de dos maneras diferentes: ya sea mediante la construcción de un conjunto bien ordenado explícito que represente el resultado de la operación o mediante el uso de recursividad transfinita . La forma normal de Cantor proporciona una forma estandarizada de escribir ordinales. Además de estas operaciones ordinales habituales, también existe la aritmética "natural" de los ordinales y las operaciones con números .
La unión de dos conjuntos disjuntos bien ordenados S y T puede estar bien ordenada. El tipo de orden de esa unión es el ordinal que resulta de sumar los tipos de orden de S y T. Si dos conjuntos bien ordenados aún no son disjuntos, entonces pueden ser reemplazados por conjuntos disjuntos isomórficos de orden, por ejemplo, reemplace S por {0} × S y T por {1} × T. De esta manera, el conjunto bien ordenado S se escribe "a la izquierda" del conjunto bien ordenado T , lo que significa que se define un orden en S T en el que cada elemento de S es menor que todos los elementos de T. Los conjuntos S y T mantienen el orden que ya tenían. Esta suma de los tipos de orden es asociativa y generaliza la suma de los números naturales .
El primer ordinal transfinito es ω, el conjunto de todos los números naturales. Por ejemplo, el ordinal ω + ω se obtiene con dos copias de los números naturales ordenadas de la forma habitual y la segunda copia completamente a la derecha de la primera. Escribiendo 0' < 1' < 2' < ... para la segunda copia, ω + ω parece
Esto es diferente de ω porque en ω solo 0 no tiene un predecesor directo mientras que en ω + ω los dos elementos 0 y 0' no tienen predecesores directos. Como otro ejemplo, aquí están 3 + ω y ω + 3:
Después de volver a etiquetar, el primero se parece a ω, es decir, 3 + ω = ω, mientras que el último no: ω + 3 no es igual a ω ya que ω + 3 tiene un elemento más grande (es decir, 2') y ω no. (incluso si ω y ω + 3 son equipotentes , no son isomorfos). Por lo tanto, esta suma no es conmutativa . De hecho, es bastante raro que α + β sea igual a β + α : esto sucede si y solo si α = γm , β = γn para algunos ordinales γ y números naturales m y n. De esto se sigue que " α conmuta con β " es una relación de equivalencia sobre la clase de los ordinales distintos de cero, y todas las clases de equivalencia son contablemente infinitas. Sin embargo, la suma sigue siendo asociativa ; se puede ver por ejemplo que (ω + 4) + ω = ω + (4 + ω) = ω + ω.
La suma ordinal es cancelativa por la izquierda : si α + β = α + γ , entonces β = γ . Además, se puede definir la resta por la izquierda para los ordinales β ≤ α : existe un único γ tal que α = β + γ . Por otro lado, el derecho de cancelación no funciona: