Tipo de orden


En matemáticas , especialmente en la teoría de conjuntos , se dice que dos conjuntos ordenados X e Y tienen el mismo tipo de orden si son de orden isomórfico , es decir, si existe una biyección (cada elemento coincide exactamente con uno en el otro conjunto) tal que ambos fy su inversa son monótonas (conservando el orden de los elementos). En el caso especial cuando X está totalmente ordenado , la monotonicidad de f implica la monotonicidad de su inversa.

Por ejemplo, el conjunto de enteros y el conjunto de enteros pares tienen el mismo tipo de orden, porque el mapeo es una biyección que conserva el orden. Pero el conjunto de números enteros y el conjunto de números racionales (con el orden estándar) no tienen el mismo tipo de orden, porque aunque los conjuntos son del mismo tamaño (ambos son infinitos numerables ), no existe una biyectiva que preserve el orden. mapeo entre ellos. A estos dos tipos de orden podemos agregar dos más: el conjunto de enteros positivos (que tiene un elemento mínimo) y el de enteros negativos (que tiene un elemento mayor). El intervalo abierto (0, 1)de los racionales es un orden isomorfo a los racionales (ya que, por ejemplo, es una biyección estrictamente creciente de los primeros a los segundos); los racionales contenidos en los intervalos semicerrados [0,1) y (0,1], y el intervalo cerrado [0,1], son tres ejemplos de tipos de orden adicionales.

Dado que la equivalencia de orden es una relación de equivalencia , divide la clase de todos los conjuntos ordenados en clases de equivalencia .

Cada conjunto bien ordenado es equivalente en orden a exactamente un número ordinal , por definición. Los números ordinales se toman como representantes canónicos de sus clases, por lo que el tipo de orden de un conjunto bien ordenado suele identificarse con el ordinal correspondiente. Por ejemplo, el tipo de orden del conjunto de números naturales es ω .

Cualquier conjunto contable totalmente ordenado se puede mapear de forma inyectiva en los números racionales de una manera que preserve el orden. Cualquier conjunto contable denso totalmente ordenado sin elementos más altos ni más bajos se puede mapear biyectivamente en los números racionales de una manera que preserva el orden.

Normalmente se indica el tipo de orden de los racionales . Si un conjunto S tiene tipo de orden , se indica el tipo de orden del dual de S (el orden inverso) .


Tres pocillos ordenamientos sobre el conjunto de los números naturales con distintos tipos de orden ( de arriba a abajo ): , , y .