En el bridge de contrato , el principio de elección restringida establece que el juego de una carta en particular disminuye la probabilidad de que su jugador tenga una carta equivalente. Por ejemplo, Sur lleva una espada baja, Oeste juega una baja, Norte juega con la reina, Este gana con el rey. El as y el rey son cartas equivalentes; El juego del rey de Este disminuye la probabilidad de que Este tenga el as, y aumenta la probabilidad de que Occidente tenga el as. El principio ayuda a otros jugadores a inferir la ubicación de cartas equivalentes no observadas, como ese as de espadas, después de observar al rey. El aumento o disminución de la probabilidad es un ejemplo de actualización bayesiana a medida que la evidencia se acumula y las aplicaciones particulares de elección restringida son similares al problema de Monty Hall..
Jeff Rubens (1964, 457) estableció el principio así: "El juego de una carta que puede haber sido seleccionada como una opción de juegos iguales aumenta la posibilidad de que el jugador comience con una participación en la que su elección estaba restringida". Fundamentalmente, ayuda a jugar "en situaciones que solían considerarse como conjeturas". En muchas de esas situaciones, la regla derivada del principio es jugar por honores divididos . Después de observar una carta equivalente, es decir, se debe continuar jugando como si dos equivalentes estuvieran divididos entre los jugadores contrarios, de modo que no hubiera elección sobre cuál jugar. Quien jugó el primero no tiene el otro.
Cuando el número de cartas equivalentes es mayor que dos, el principio se complica porque su equivalencia puede no ser manifiesta. Cuando un socio tiene ♣ Q y ♣ 10, digamos, y el otro tiene ♣ J, generalmente es cierto que esas tres cartas son equivalentes, pero el que tiene dos de ellas no lo sabe. La elección restringida siempre se introduce en términos de dos cartas en contacto (rangos consecutivos del mismo palo, como ♥ QJ o ♦ KQ) donde la equivalencia es manifiesta.
Si no hay razón para preferir una carta específica (por ejemplo, para hacer una señal al compañero), un jugador que tenga dos o más cartas equivalentes a veces debería aleatorizar su orden de juego (ver la nota sobre el equilibrio de Nash). Los cálculos de probabilidad en la cobertura de elección restringida a menudo dan por sentada la aleatorización uniforme, pero eso es problemático.
El principio de elección restringida se aplica incluso a la elección de un oponente de una salida inicial de palos equivalentes. Véase Kelsey y Glauert (1980).
Ejemplo
Considere la combinación de trajes representada en la figura. Hay cuatro cartas de espadas ♠ 8754 en el Sur (mano cerrada) y cinco ♠ AJ1096 en el Norte (muerta, visible para todos los jugadores). Oeste y Este tienen las cuatro espadas restantes ♠ KQ32 en sus dos manos cerradas.
♠ A J 10 9 6 |
♠ 8 7 5 4 |
Sur lleva una pequeña espada, Oeste juega el ♠ 2 (o ♠ 3), el muerto Norte juega la ♠ J, y Este gana con la ♠ K. Más tarde, después de ganar una baza de palo lateral, Sur lidera otra pequeña espada y Oeste le sigue. baja con ♠ 3 (o ♠ 2). En este punto, con Norte y Este aún por jugar, no se ha establecido la ubicación de solo la ♠ Q. ¿Es mejor jugar del muerto ♠ A, con la esperanza de dejar caer el ♠ Q de Este, o para la delicadeza de nuevo con el ♠ 10, con la esperanza de dejar caer el ♠ Q de West en la tercera ronda del traje? Es decir, ¿debería el declarante jugar para que las posesiones originales de los defensores sean 32 y KQ o Q32 y K? El principio de elección restringida explica por qué lo último es ahora aproximadamente el doble de probable, de modo que la delicadeza jugando el ♠ 10 tiene casi el doble de probabilidades de éxito.
2-2 dividido | 3-1 división | División 4-0 | |||
---|---|---|---|---|---|
Oeste | este | Oeste | este | Oeste | este |
KQ | 32 | KQ3 | 2 | KQ32 | - |
K3 | Q2 | KQ2 | 3 | - | KQ32 |
K2 | Tercer trimestre | K32 | Q | ||
Tercer trimestre | K2 | Q32 | K | ||
Q2 | K3 | K | Q32 | ||
32 | KQ | Q | K32 | ||
3 | KQ2 | ||||
2 | KQ3 |
Antes de jugar, 16 posibles tenencias de espadas del Oeste y Este o "mentiras" son posibles desde la perspectiva del Sur. Estos se enumeran a la izquierda, ordenados primero por "dividir" de igual a desigual número de cartas, luego por la tenencia de West de más fuerte a más débil.
Después de que Oeste sigue a la segunda espada, que es el momento de decisión mencionado anteriormente, solo dos de las 16 mentiras originales siguen siendo posibles (negrita), ya que Oeste ha jugado cartas bajas y Este el rey. A primera vista, puede parecer que las probabilidades ahora son iguales, 1: 1, por lo que Sur debería esperar que lo haga igualmente bien con cualquiera de las dos posibles continuaciones.
Sin embargo, este no es el caso porque si Este tuviera ♠ KQ, igualmente bien podría haber jugado la reina en lugar del rey. Por lo tanto, algunos acuerdos con la mentira original 32 y KQ no llegarían a esta etapa; en cambio, llegarían a la etapa paralela con ♠ K solo faltante, Sur habiendo observado 32 y Q. En contraste, cada trato con la mentira original Q32 y K llegaría a esta etapa, ya que Este jugó el rey forzosamente (sin elección, o por "restringido elección").
Si Este ganara la primera baza con el rey o la reina uniformemente al azar de ♠ KQ, entonces ese lie original 32 y KQ llegarían a esta etapa la mitad del tiempo y tomarían la otra bifurcación en el camino la mitad del tiempo. Por lo tanto, en la secuencia real de juego, las probabilidades no son iguales, sino de la mitad a uno, o 1: 2. Este retendría la reina del ♠ KQ original alrededor de un tercio del tiempo y no retendría espadas del ♠ K original alrededor de dos tercios del tiempo.
Es importante destacar que esto supone que los defensores no tienen un sistema de señalización, por lo que la jugada por el oeste de (digamos) el 3 seguido del 2 no indica un dobleton. Durante el curso de muchos tratos equivalentes, Este con ♠ KQ debería, en teoría, ganar la primera baza con el rey o la reina uniformemente al azar; es decir, la mitad de cada uno sin ningún patrón. [1]
Mejor cálculo de probabilidades
Este es un intento de un cálculo más preciso de las probabilidades, como se explicó en la sección anterior.
A priori , cuatro cartas destacadas se "dividen" como se muestra en las dos primeras columnas de la tabla. Por ejemplo, tres cartas están juntas y la cuarta está sola, una "división 3-1" con una probabilidad del 49,74%. Para comprender el "número de mentiras específicas", consulte la lista anterior de todas las mentiras.
Separar | Probabilidad de división | Número de mentiras específicas | Probabilidad de una mentira específica |
---|---|---|---|
2-2 | 40,70% | 6 | 6,78% |
3-1 | 49,74% | 8 | 6,22% |
4-0 | 9,57% | 2 | 4,78% |
La última columna da la probabilidad a priori de cualquier participación original específica, como 32 y KQ; ese uno está representado por la fila uno que cubre la división 2–2. La otra mentira que aparece en nuestro ejemplo de juego del palo de espadas, Q32 y K, está representada por la fila dos que cubre la división 3–1.
Por lo tanto, la tabla muestra que las probabilidades a priori de estas dos mentiras específicas no eran iguales, sino ligeramente a favor de la primera, alrededor de 6,78 a 6,22 para ♠ KQ contra ♠ K.
¿Cuáles son las probabilidades a posteriori , en el momento de la verdad en nuestro ejemplo de juego del palo de espadas? Si Este con ♠ KQ gana la primera baza uniformemente al azar con el rey o la reina, y con ♠ K gana la primera baza con el rey, sin tener otra opción, las probabilidades posteriores son de 3.39 a 6.22, un poco más de 1: 2, en términos porcentuales un poco más del 35% para ♠ KQ. Para jugar el as ♠ A del norte en la segunda ronda debería ganar alrededor del 35%, mientras que para volver a la delicadeza con el diez ♠ 10 gana alrededor del 65%.
El principio de elección restringida es general, pero este cálculo de probabilidad específico supone que Este ganaría con el rey de ♠ KQ precisamente la mitad de las veces (que es lo mejor). Si Este ganara con el rey de ♠ KQ más o menos de la mitad de las veces, entonces Sur gana más o menos del 35% jugando el as. De hecho, si Este ganara con el rey el 92% de las veces (= 6.22 / 6.78), entonces Sur gana el 50% jugando el as y el 50% repitiendo la delicadeza. Sin embargo, si eso es cierto, Sur gana casi al 100% repitiendo la delicadeza después de que Este gana con la reina, ya que la reina de ese jugador del Este casi niega al rey.
Mejor todavía
Un tratamiento más completo consideraría todas las opciones, no solo las opciones de carta alta de dos iguales. En el ejemplo del palo de espadas, se debe incorporar la elección de la carta baja por parte de Oeste de ♠ 32 y de ♠ Q32. El 2 y el 3 son cartas manifiestamente equivalentes que Occidente debería jugar uniformemente al azar de ambas posesiones originales, es decir, al azar en las dos primeras bazas, siempre reteniendo la reina de ♠ Q32. El cálculo de probabilidad anterior depende de que Occidente lo haga.
Teoría matemática
El principio de elección restringida es una aplicación del teorema de Bayes . Kp - Rey jugado por Este en la primera baza. KQ - Este tiene KQ, K - Este tiene K.
Las 2 primeras ecuaciones son el teorema de Bayes , el resto es álgebra simple. Tenga en cuenta que P (Kp | KQ) es 0,5 porque asumimos que Este juega el rey o la reina con la misma probabilidad, cuando tiene elección.
Los aumentos y disminuciones en las probabilidades de mentiras originales de las cartas opuestas, a medida que avanza el juego de la mano, son ejemplos de actualización bayesiana a medida que se acumula la evidencia.
Ver también
Notas
- ^ Eso es debería en el sentido de equilibrio de Nash . La teoría de Nash implica que los oponentes pueden observar cualquier patrón y aprovecharlo. La lección es bien conocida entre los expertos en bridge y se acepta su aplicación a jugadas como esta. Con respecto al ejemplo as-rey del párrafo principal, Rubens (1964, 457) asume que "Este jugaría sus iguales honores con igual frecuencia ... Se puede demostrar que esta es, de hecho, la mejor estrategia de Este". Ver también estrategia mixta en combinaciones de palos
Otras lecturas
- Kelsey, Hugh ; Glauert, Michael (1980). Bridge Odds para jugadores prácticos . Master Bridge Series. Londres: Victor Gollancz Ltd en asociación con Peter Crawley. págs. 92-116. ISBN 0-575-02799-1.
- Frey, Richard L .; Truscott, Alan F. , eds. (1964). La enciclopedia oficial de Bridge (1ª ed.). Nueva York: Crown Publishers, Inc. p. 381-385. LCCN 64023817 .El artículo sobre Elección restringida fue creado por Jeff Rubens en la primera Enciclopedia (edición de 1964). En él y en ediciones posteriores (por ejemplo, en la página 381 de la 6ª edición), Rubens afirma que Reese en su libro Master Play "unificó" los "principios subyacentes ... discutidos por primera vez por Alan Truscott en el Contract Bridge Journal "; no da una fecha para el artículo de Truscott.
- Reese, Terence (1958). El juego experto . Londres: Edward Arnold (Publishers) Ltd. ISBN 0-575-02799-1.Publicado en Estados Unidos en 1960 como Master Play . George Coffin (Waltham MA).