En el campo matemático de la teoría de categorías , el producto de dos categorías C y D , denotado C × D y llamado categoría de producto , es una extensión del concepto del producto cartesiano de dos conjuntos . Las categorías de productos se utilizan para definir bifunctores y multifunctores . [1]
Definición
La categoría de producto C × D tiene:
- como objetos :
- pares de objetos ( A , B ) , donde A es un objeto de C y B de D ;
- como flechas de ( A 1 , B 1 ) a ( A 2 , B 2 ) :
- pares de flechas ( f , g ) , donde f : A 1 → A 2 es una flecha de C y g : B 1 → B 2 es una flecha de D ;
- como composición, composición por componentes de las categorías contribuyentes:
- ( f 2 , g 2 ) o ( f 1 , g 1 ) = ( f 2 o f 1 , g 2 o g 1 ) ;
- como identidades, pares de identidades de las categorías contribuyentes:
- 1 ( A , B ) = (1 A , 1 B ).
Relación con otros conceptos categóricos
Para categorías pequeñas , esto es lo mismo que la acción sobre objetos del producto categórico en la categoría Cat . Un funtor cuyo dominio es una categoría de producto se conoce como bifunctor . Un ejemplo importante es el functor Hom , que tiene el producto del opuesto de alguna categoría con la categoría original como dominio:
- Hom: C op × C → Establecer .
Generalización a varios argumentos
Así como el producto cartesiano binario se generaliza fácilmente a un producto cartesiano n -ario , el producto binario de dos categorías puede generalizarse, de manera completamente análoga, a un producto de n categorías. La operación del producto sobre categorías es conmutativa y asociativa , hasta el isomorfismo , por lo que esta generalización no aporta nada nuevo desde un punto de vista teórico.
Referencias
- Definición 1.6.5 en Borceux, Francis (1994). Manual de álgebra categórica . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones 50-51, 53 [es decir, 52]. Volumen 1. Cambridge University Press. pag. 22 . ISBN 0-521-44178-1.
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tiene texto extra ( ayuda ) - Categoría de producto en nLab
- Mac Lane, Saunders (1978). Categorías para el matemático que trabaja (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York. págs. 49–51. ISBN 1441931236. OCLC 851741862 .