Una integral de producto es cualquier contraparte basada en el producto de la integral de cálculo habitual basada en la suma . La primera integral de producto ( Tipo I a continuación) fue desarrollada por el matemático Vito Volterra en 1887 para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales . [1] [2] Otros ejemplos de integrales de productos son la integral geométrica ( Tipo II a continuación), la integral bigeométrica ( Tipo III a continuación) y algunas otras integrales de cálculo no newtoniano. [3] [4] [5]
Las integrales de productos han encontrado uso en áreas desde la epidemiología (el estimador de Kaplan-Meier ) hasta la dinámica de población estocástica utilizando integrales de multiplicación (multigrales), análisis y mecánica cuántica . La integral geométrica , junto con la derivada geométrica , es útil en el análisis de imágenes [6] [7] [8] [9] y en el estudio de los fenómenos de crecimiento / desintegración (por ejemplo, en el crecimiento económico , el crecimiento bacteriano y la desintegración radiactiva ) . [10] [11] [12] [13] La integral bigeométrica , junto con la derivada bigeométrica, es útil en algunas aplicaciones de fractales , [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20 ] [21] [22] y en la teoría de la elasticidad en economía. [3] [23] [5] [24] [25]
Este artículo adopta el "producto" notación para la integración de productos en lugar de la "integral" (generalmente modificado por un símbolo de "tiempos" superpuesto o una letra P) favorecido por Volterra y otros. También se adopta una clasificación arbitraria de tipos para imponer algún orden en el campo.
Definiciones basicas
La integral de Riemann clásica de una función puede ser definido por la relación
donde el límite se toma sobre todas las particiones del intervalo cuyas normas se acercan a cero.
En términos generales, las integrales de productos son similares, pero toman el límite de un producto en lugar del límite de una suma . Pueden ser considerados como " continuas versiones" de " discretas " productos .
Las integrales de productos más populares son las siguientes:
Tipo I: integral de Volterra
La integral de producto de tipo I corresponde a la definición original de Volterra . [2] [26] [27] La siguiente relación existe para funciones escalares :
que no es un operador multiplicativo . (Entonces los conceptos de integral de producto e integral multiplicativa no son los mismos).
La integral del producto de Volterra es más útil cuando se aplica a funciones con valores matriciales o funciones con valores en un álgebra de Banach , donde la última igualdad ya no es cierta (consulte las referencias a continuación).
Cuando se aplica a escalares que pertenecen a un campo no conmutativo, a matrices y a operadores, es decir, a objetos matemáticos que no conmutan, la integral de Volterra se divide en dos definiciones [28]
Producto izquierdo integral
Con la notación de productos de la izquierda (es decir, productos normales aplicados desde la izquierda)
Producto adecuado integral
Con la notación de productos correctos (es decir, aplicados desde la derecha)
Dónde es la matriz de identidad y D es una partición del intervalo [a, b] en el sentido de Riemann, es decir, el límite está por encima del intervalo máximo en la partición. Observe cómo en este caso el ordenamiento del tiempo se hace evidente en las definiciones.
Para las funciones escalares , la derivada en el sistema de Volterra es la derivada logarítmica , por lo que el sistema de Volterra no es un cálculo multiplicativo y no es un cálculo no newtoniano. [2]
Tipo II: integral geométrica
que se llama integral geométrica y es un operador multiplicativo .
Esta definición de integral de producto es el análogo continuo del operador de producto discreto
(con ) y el análogo multiplicativo a la integral (normal / estándar / aditiva )
(con ):
aditivo multiplicativo discreto continuo
Es muy útil en estocástica , donde la probabilidad logarítmica (es decir, el logaritmo de una integral de producto de variables aleatorias independientes ) es igual a la integral del logaritmo de estas ( infinitesimalmente muchas) variables aleatorias :
Tipo III: integral bigeométrica
donde r = ln a , y s = ln b .
La integral del producto de tipo III se llama integral bigeométrica y es un operador multiplicativo .
Resultados
- Resultados basicos
Los siguientes resultados son para la integral del producto de tipo II (la integral geométrica) . Otros tipos producen otros resultados.
La integral geométrica (tipo II anterior) juega un papel central en el cálculo geométrico , [3] [29] [30] que es un cálculo multiplicativo.
- El teorema fundamental
dónde es la derivada geométrica.
- Regla del producto
- Regla del cociente
- Ley de los grandes números
donde X es una variable aleatoria con distribución de probabilidad F ( x ).
Compare con la ley estándar de los números grandes :
Integrales de productos tipo Lebesgue
Al igual que la versión de Lebesgue de integrales (clásicas) , se pueden calcular integrales de productos aproximándolas con las integrales de productos de funciones simples . Cada tipo de integral de producto tiene una forma diferente para funciones simples .
Tipo I: integral de Volterra
Debido a que las funciones simples generalizan funciones escalonadas , en lo que sigue solo consideraremos el caso especial de funciones simples que son funciones escalonadas. Esto también facilitará la comparación de la definición de Lebesgue con la definición de Riemann .
Dada una función de paso con la partición correspondiente y una partición etiquetada
una aproximación de la "definición de Riemann" de la integral del producto de tipo I viene dada por [31]
La integral de producto (tipo I) fue definida como, en términos generales, el límite de estos productos por Ludwig Schlesinger en un artículo de 1931. [ cual? ]
Otra aproximación de la "definición de Riemann" de la integral de producto de tipo I se define como
Cuándo es una función constante , el límite del primer tipo de aproximación es igual al segundo tipo de aproximación. [32] Observe que, en general, para una función de paso, el valor del segundo tipo de aproximación no depende de la partición, siempre que la partición sea un refinamiento de la partición que define la función de paso, mientras que el valor de la primer tipo de aproximación no depende de la finura de la partición, incluso cuando se trata de un refinamiento de la partición de la definición de la función de paso.
Resulta que [33] que para cualquier función integrable de producto, el límite del primer tipo de aproximación es igual al límite del segundo tipo de aproximación. Dado que, para las funciones escalonadas, el valor del segundo tipo de aproximación no depende de la finura de la partición para particiones "suficientemente finas", tiene sentido definir [34] la "integral de producto de Lebesgue (tipo I)" de una función de paso como
dónde es una partición etiquetada, y nuevamente es la partición correspondiente a la función escalonada . (Por el contrario, la cantidad correspondiente no se definiría inequívocamente utilizando el primer tipo de aproximación).
Esto se generaliza fácilmente a espacios de medida arbitraria . Sies un espacio de medida con medida , luego para cualquier función simple integrable en el producto (es decir, una combinación cónica de las funciones del indicador para algunos conjuntos medibles disjuntos ), su integral de producto de tipo I se define como
desde es el valor de en cualquier punto de . En el caso especial donde, es la medida de Lebesgue , y todos los conjuntos mediblesson intervalos , se puede verificar que esto es igual a la definición dada anteriormente para ese caso especial. De forma análoga a la teoría de las integrales de Lebesgue (clásicas) , la integral de producto de Volterra de cualquier función integrable de productopuede escribirse como el límite de una secuencia creciente de integrales de productos de Volterra de funciones simples integrables en productos.
Tomando logaritmos de ambos lados de la definición anterior, se obtiene eso para cualquier función simple integrable en productos:
donde usamos la definición de integral para funciones simples . Además, debido a que funciones continuas como se puede intercambiar con límites , y el producto integral de cualquier función integrable del producto es igual al límite de productos integrales de funciones simples, se sigue que la relación
se mantiene generalmente para cualquier producto integrable. Esto generaliza claramente la propiedad mencionada anteriormente .
La integral del producto de Volterra es multiplicativa como una función de conjunto , [35] que se puede mostrar usando la propiedad anterior. Más específicamente, dada una función integrable de producto se puede definir una función determinada definiendo, para cada conjunto medible ,
dónde denota la función indicadora de. Luego, para dos conjuntos medibles disjuntos uno tiene
Esta propiedad se puede contrastar con las medidas , que son funciones de conjuntos aditivos .
Sin embargo, la integral del producto Volterra no es multiplicativa como funcional . Dadas dos funciones integrables de productosy un conjunto medible , generalmente ocurre que
Tipo II: integral geométrica
Si es un espacio de medida con medida , luego para cualquier función simple integrable en el producto (es decir, una combinación cónica de las funciones del indicador para algunos conjuntos medibles disjuntos ), su integral de producto de tipo II se define como
Puede verse que esto generaliza la definición dada anteriormente.
Tomando logaritmos de ambos lados, vemos que para cualquier función simple integrable en productos :
donde hemos utilizado la definición de la integral de Lebesgue para funciones simples . Esta observación, análoga a la ya realizada anteriormente , permite reducir por completo la " teoría de Lebesgue de integrales geométricas " a la teoría de Lebesgue de integrales (clásicas) . En otras palabras, porque funciones continuas como y se puede intercambiar con límites , y el producto integral de cualquier función integrable del productoes igual al límite de alguna secuencia creciente de productos integrales de funciones simples , se sigue que la relación
se mantiene generalmente para cualquier producto integrable. Esto generaliza la propiedad de las integrales geométricas mencionadas anteriormente.
Ver también
- Lista de derivadas e integrales en cálculos alternativos
- Producto indefinido
- Derivada logarítmica
- Exponencial ordenado
- Derivado fractal
Referencias
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enlaces externos
- Sitio web de cálculo no newtoniano
- Richard Gill, Integración de productos
- Richard Gill, símbolo integral del producto
- David Manura, cálculo de productos
- Tyler Neylon, ¡ límites fáciles para n!
- Una introducción al cálculo multigral (producto) y sin Dx
- Notas sobre la ecuación Lax
- Antonín Slavík, Introducción a la integración de productos
- Integración de productos de Antonín Slavík, Henstock – Kurzweil y McShane