Regla del producto
En cálculo , la regla del producto (o regla de Leibniz [1] o regla del producto de Leibniz ) es una fórmula utilizada para encontrar las derivadas de productos de dos o más funciones . Para dos funciones, se puede establecer en la notación de Lagrange como
La regla puede extenderse o generalizarse a productos de tres o más funciones, a una regla para derivadas de orden superior de un producto ya otros contextos.
El descubrimiento de esta regla se atribuye a Gottfried Leibniz , quien la demostró usando diferenciales . [2] (Sin embargo, JM Child, un traductor de los artículos de Leibniz, [3] argumenta que se debe a Isaac Barrow .) Aquí está el argumento de Leibniz: Sean u ( x ) y v ( x ) dos funciones diferenciables de x . Entonces el diferencial de uv es
y esta es de hecho la forma diferencial de la regla del producto. Si dividimos por la diferencial dx , obtenemos
Sea h ( x ) = f ( x ) g ( x ) y suponga que f y g son diferenciables en x . Queremos demostrar que h es diferenciable en x y que su derivada, h ′ ( x ) , está dada por f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . Para hacer esto,(que es cero y, por lo tanto, no cambia el valor) se agrega al numerador para permitir su factorización y luego se usan las propiedades de los límites.
Por definición, si son diferenciables en entonces podemos escribir
