En matemáticas , y más específicamente en álgebra homológica , una resolución (o resolución izquierda ; doblemente una coresolución o resolución derecha [1] ) es una secuencia exacta de módulos (o, más generalmente, de objetos de una categoría abeliana ), que se utiliza definir invariantes que caractericen la estructura de un módulo u objeto específico de esta categoría. Cuando, como es habitual, las flechas se orientan hacia la derecha, se supone que la secuencia es infinita hacia la izquierda para las resoluciones (izquierda) y hacia la derecha para las resoluciones correctas. Sin embargo, unla resolución finita es aquella en la que sólo un número finito de los objetos de la secuencia son distintos de cero ; generalmente se representa mediante una secuencia exacta finita en la que el objeto más a la izquierda (para resoluciones) o el objeto más a la derecha (para coresoluciones) es el objeto cero . [2]
Generalmente, los objetos en la secuencia están restringidos para tener alguna propiedad P (por ejemplo, ser libres). Por lo tanto se habla de una resolución P . En particular, cada módulo tiene resoluciones libres , resoluciones proyectivas y resoluciones planas , que son resoluciones dejadas que consisten, respectivamente, en módulos libres , módulos proyectivos o módulos planos . De manera similar, cada módulo tiene resoluciones inyectables , que son resoluciones correctas que consisten en módulos inyectivos .
Dado un módulo M sobre un anillo R , una resolución izquierda (o simplemente resolución ) de M es una secuencia exacta (posiblemente infinita) de R -modules
Los homomorfismos d i se denominan mapas de límites. El mapa ε se denomina mapa de aumento . En aras de la concisión, la resolución anterior se puede escribir como
La noción dual es la de una resolución correcta (o coresolución , o simplemente resolución ). Específicamente, dado un módulo M sobre un anillo R , una resolución correcta es una secuencia exacta posiblemente infinita de módulos R
donde cada C i es un módulo R (es común usar superíndices en los objetos en la resolución y los mapas entre ellos para indicar la naturaleza dual de tal resolución). En aras de la concisión, la resolución anterior se puede escribir como