La descomposición ortogonal adecuada es un método numérico que se aplica comúnmente al campo de la simulación de elementos finitos .
Permite reducir la complejidad de la simulación intensiva en computación , como la dinámica de fluidos computacional y el análisis estructural (como la simulación de accidentes ). Normalmente, en el análisis de dinámica de fluidos y turbulencias , se utiliza para reemplazar las ecuaciones de Navier-Stokes por modelos más simples de resolver. [1]
Pertenece a una clase de algoritmos llamados Model Order Reduction (o, en resumen, Model Reduction). Lo que esencialmente hace es entrenar un modelo basado en datos de simulación. En esta medida, se puede asociar al campo del aprendizaje automático .
POD y PCA
El uso principal de POD es descomponer un campo físico (como Presión, Temperatura en Dinámica de Fluidos o Estrés y Deformación en Análisis Estructural), dependiendo de las diferentes variables que influyen en su comportamiento físico. Como sugiere su nombre, está operando una descomposición ortogonal junto con los componentes principales del campo. Como tal, se asimila con el Análisis de componentes principales de Pearson en el campo de la estadística, o la Descomposición de valores singulares en álgebra lineal porque se refiere a valores propios y vectores propios de un campo físico. En esos dominios, se asocia con la investigación de Karhunen [2] y Loève, [3] y su teorema de Karhunen-Loève .
Expresión matemática
La primera idea detrás de la descomposición ortogonal adecuada (POD), como se formuló originalmente en el dominio de la dinámica de fluidos para analizar turbulencias, es descomponer un campo vectorial aleatorio u (x, t) en un conjunto de funciones espaciales deterministas Φ k ( x) modulado por coeficientes de tiempo aleatorios a k (t) de modo que:
El primer paso es muestrear el campo vectorial durante un período de tiempo en lo que llamamos instantáneas (como se muestra en la imagen de las instantáneas del POD). Este método de instantánea [4] está promediando las muestras sobre la dimensión espacial n , y correlacionándolas entre sí a lo largo de las muestras de tiempo p :
con n elementos espaciales yp muestras de tiempo
El siguiente paso es calcular la matriz de covarianza C
Luego calculamos los autovalores y autovectores de C y los ordenamos desde el autovalor más grande al más pequeño.
Obtenemos n autovalores λ1 ... λn y un conjunto de n autovectores dispuestos como columnas en una matriz n × n Φ:
Cursos sobre POD
- MIT: http://web.mit.edu/6.242/www/images/lec6_6242_2004.pdf
- Universidad de Stanford - Charbel Farhat y David Amsallem https://web.stanford.edu/group/frg/course_work/CME345/CA-CME345-Ch4.pdf
- Weiss, Julien: un tutorial sobre la descomposición ortogonal adecuada. En: Foro de Aviación AIAA 2019. 17 a 21 de junio de 2019, Dallas, Texas, Estados Unidos.
- Curso de francés del CNRS https://www.math.u-bordeaux.fr/~mbergman/PDF/OuvrageSynthese/OCET06.pdf
- Aplicaciones del método de descomposición ortogonal adecuado http://www.cerfacs.fr/~cfdbib/repository/WN_CFD_07_97.pdf
Referencias
- ^ Berkooz, G; Holmes, P; Lumley, JL (enero de 1993). "La adecuada descomposición ortogonal en el análisis de flujos turbulentos" . Revisión anual de mecánica de fluidos . 25 (1): 539–575. doi : 10.1146 / annurev.fl.25.010193.002543 . ISSN 0066-4189 .
- ^ Karhunen, Kari (1946). Zur spektral theorie stochasticher prozesse .
- ^ David, FN; Loeve, M. (diciembre de 1955). "Teoría de la probabilidad" . Biometrika . 42 (3/4): 540. doi : 10.2307 / 2333409 . ISSN 0006-3444 . JSTOR 2333409 .
- ^ Sirovich, Lawrence (1 de octubre de 1987). "Turbulencia y dinámica de estructuras coherentes. I. Estructuras coherentes" . Trimestral de Matemática Aplicada . 45 (3): 561–571. doi : 10.1090 / qam / 910462 . ISSN 0033-569X .