La reducción del orden del modelo (MOR) es una técnica para reducir la complejidad computacional de los modelos matemáticos en simulaciones numéricas . Como tal, está estrechamente relacionado con el concepto de metamodelado con aplicaciones en todas las áreas del modelado matemático .
Descripción general
Muchos modelos matemáticos modernos de procesos de la vida real plantean desafíos cuando se utilizan en simulaciones numéricas , debido a su complejidad y gran tamaño (dimensión). La reducción del orden del modelo tiene como objetivo reducir la complejidad computacional de tales problemas, por ejemplo, en simulaciones de sistemas dinámicos y sistemas de control a gran escala . Mediante una reducción de la dimensión del espacio de estados asociado del modelo o los grados de libertad , se calcula una aproximación al modelo original que se conoce comúnmente como modelo de orden reducido.
Los modelos de orden reducido son útiles en entornos donde a menudo no es factible realizar simulaciones numéricas utilizando el modelo de orden completo completo. Esto puede deberse a limitaciones en los recursos computacionales o los requisitos de la configuración de las simulaciones, por ejemplo , configuraciones de simulación en tiempo real o configuraciones de muchas consultas en las que se necesita realizar una gran cantidad de simulaciones. [1] [2] Ejemplos de configuraciones de simulación en tiempo real incluyen sistemas de control en electrónica y visualización de resultados de modelos, mientras que ejemplos de configuraciones de muchas consultas pueden incluir problemas de optimización y exploración de diseño. Para ser aplicable a problemas del mundo real, a menudo los requisitos de un modelo de orden reducido son: [3] [4]
- Un pequeño error de aproximación en comparación con el modelo de pedido completo.
- Conservación de las propiedades y características del modelo de orden completo (Ej. Estabilidad y pasividad en electrónica).
- Técnicas de modelado de orden reducido robustas y eficientes desde el punto de vista computacional.
Métodos
Las técnicas contemporáneas de reducción del orden del modelo pueden clasificarse ampliamente en 4 clases: [1] [5]
- Métodos adecuados de descomposición ortogonal . [6] [7]
- Métodos de base reducida. [8]
- Métodos de equilibrio
- física simplificada [9] o métodos de reducción basados en operaciones. [3]
El enfoque de física simplificada puede describirse como análogo al enfoque de modelado matemático tradicional , en el que se construye una descripción menos compleja de un sistema basada en suposiciones y simplificaciones utilizando conocimientos físicos o información derivada de otro modo. Sin embargo, este enfoque no suele ser tema de discusión en el contexto de la reducción del orden del modelo, ya que es un método general en ciencias, ingeniería y matemáticas.
Los métodos enumerados restantes entran en la categoría de reducción basada en proyecciones. La reducción basada en proyección se basa en la proyección de las ecuaciones del modelo o de la solución sobre una base de dimensionalidad reducida en comparación con el espacio de la solución original. Los métodos que también pertenecen a esta clase pero que quizás son menos comunes son:
- Descomposición generalizada adecuada [10]
- Interpolación matricial
- Interpolación de la función de transferencia
- Interpolación tangencial por partes
- Marco de Loewner
- (Empírico) cross Gramian
- Métodos subespaciales de Krylov [11]
Implementaciones
- RBmatlab: una biblioteca de MATLAB que contiene todos los enfoques de simulación reducida para problemas de evolución lineales y no lineales, afines o arbitrariamente dependientes de parámetros con elementos finitos, volumen finito o discretizaciones de Galerkin discontinuas locales. Puede encontrar más información en la página de descarga y documentación .
- pyMOR: pyMOR es una biblioteca de software para crear aplicaciones de reducción de pedidos de modelos con el lenguaje de programación Python. Su enfoque principal radica en la aplicación de métodos de base reducida a ecuaciones diferenciales parciales parametrizadas. Todos los algoritmos en pyMOR están formulados en términos de interfaces abstractas para una integración perfecta con solucionadores de PDE externos de alta dimensión. Además, se proporcionan implementaciones puras de Python de elementos finitos y discretizaciones de volumen finito utilizando la pila de computación científica NumPy / SciPy para comenzar rápidamente. Para obtener más información, visite http://pymor.org
- emgr: Marco empírico de Gramian. Los gramáticos empíricos se pueden calcular para sistemas de control lineales y no lineales con el fin de reducir el orden del modelo, cuantificar la incertidumbre o identificar el sistema. El marco emgr es una caja de herramientas compacta de código abierto para la reducción de modelos basada en gramian y compatible con OCTAVE y MATLAB. Más en: http://gramian.de
- KerMor: una biblioteca MATLAB © orientada a objetos que proporciona rutinas para la reducción del orden del modelo de sistemas dinámicos no lineales. La reducción se puede lograr mediante proyección subespacial y aproximación de no linealidades mediante métodos de kernels o DEIM. Los procedimientos estándar como el método POD-Greedy se implementan fácilmente, así como los estimadores de error a posteriori avanzados para varias configuraciones del sistema. KerMor también incluye varios ejemplos de trabajo y algunos archivos de demostración para familiarizarse rápidamente con la funcionalidad proporcionada. Puede encontrar más información en http://www.morepas.org/software/kermor/
- JaRMoS: JaRMoS significa “Simulaciones de modelos reducidos de Java” y tiene como objetivo permitir la importación y simulación de varios modelos reducidos de múltiples fuentes en cualquier plataforma compatible con Java. Hasta ahora está presente el soporte para modelos reducidos RBmatlab, KerMor y rbMIT, donde solo podemos importar los modelos rbMIT que hayan sido previamente publicados con la aplicación rbAppMIT para Android. Hasta ahora, las extensiones son una versión de escritorio para ejecutar modelos reducidos y el soporte inicial para modelos reducidos basados en kernel de KerMor está en camino. Puede encontrar más información en http://www.morepas.org/software/jarmos/
- MORLAB: Laboratorio de reducción de pedidos de modelos. Esta caja de herramientas es una colección de rutinas MATLAB / OCTAVE para la reducción del orden del modelo de sistemas dinámicos lineales basados en la solución de ecuaciones matriciales. La implementación se basa en métodos de proyección espectral, por ejemplo, métodos basados en la función de signo de matriz y la función de disco de matriz. Para obtener más detalles sobre este software, consulte: https://www.mpi-magdeburg.mpg.de/projects/morlab
- Dune-RB: un módulo para la biblioteca Dune ( www.dune-project.org , http://dune.mathematik.uni-freiburg.de ), que realiza clases de plantilla C ++ para su uso en la generación de instantáneas y fases fuera de línea de RB para varias discretizaciones. Además de los algoritmos de un solo núcleo, el paquete también tiene como objetivo el uso de técnicas de paralelización para la generación eficiente de instantáneas. Más en: http://users.dune-project.org/projects/dune-rb/wiki
- libROM: Colección de clases de C ++ que calculan la reducción e hiperreducción del orden del modelo para sistemas de ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias. libROM incluye métodos adaptables escalables y paralelos para la descomposición ortogonal adecuada, métodos paralelos no adaptativos para la hiperreducción y descomposición aleatoria de valores singulares. Los códigos fuente se pueden encontrar en: https://github.com/LLNL/libROM
- Pressio: Pressio es un proyecto de código abierto destinado a aliviar la naturaleza intrusiva de los modelos de orden reducido basados en proyecciones para códigos a gran escala. El núcleo del proyecto es una biblioteca C ++ de solo encabezado que aprovecha la programación genérica para interactuar con aplicaciones de memoria compartida o distribuida utilizando tipos de datos arbitrarios. Pressio proporciona numerosas funcionalidades y solucionadores para realizar la reducción de modelos, como las proyecciones de Galerkin y mínimos cuadrados de Petrov-Galerkin. El ecosistema de Pressio también ofrece: (1) pressio4py , una biblioteca de enlaces de Python para facilitar la creación de prototipos, (2) pressio-tools , una biblioteca para SVD, QR y malla de muestra a gran escala, y (3) pressio-demoapps, una suite de aplicaciones de demostración 1d, 2d y 3d para probar ROM e hiperreducción. El sitio web principal se puede encontrar en https://pressio.github.io/ y el código fuente en: https://github.com/Pressio
Aplicaciones
La reducción del orden del modelo encuentra aplicación en todos los campos relacionados con el modelado matemático y existen muchas revisiones para los temas de electrónica , fluidos , mecánica estructural y optimización del diseño . [9] [10] [12] [6] [13] [14]
Mecánica de fluidos
Los problemas actuales en mecánica de fluidos involucran grandes sistemas dinámicos que representan muchos efectos en muchas escalas diferentes. Los estudios de dinámica de fluidos computacional a menudo involucran modelos que resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes con varios grados de libertad en el orden de magnitud hacia arriba de. El primer uso de las técnicas de reducción del orden del modelo se remonta al trabajo de Lumley en 1967 [15], donde se utilizó para comprender mejor los mecanismos y la intensidad de la turbulencia y las grandes estructuras coherentes presentes en los problemas de flujo de fluidos. La reducción del orden de modelos también encuentra aplicaciones modernas en aeronáutica para modelar el flujo sobre el cuerpo de la aeronave. [16] Un ejemplo se puede encontrar en Lieu et al [17] en el que el modelo de orden completo de un avión de combate F16 con más de 2,1 millones de grados de libertad, se redujo a un modelo de sólo 90 grados de libertad. Además, se ha aplicado un modelo de orden reducido para estudiar la reología en hemodinámica y la interacción fluido-estructura entre la sangre que fluye a través del sistema vascular y las paredes vasculares. [18] [19]
Ver también
- Reducción de dimensión
- Metamodelado
- Análisis de componentes principales
- Valor singular de descomposición
- Reducción de dimensionalidad no lineal
- Identificación del sistema
- Algoritmo de Krylov racional iterativo (IRKA)
Referencias
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Otras lecturas
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- Benner, Peter; Gugercin, Serkan; Willcox, Karen (2013), Una encuesta de métodos de reducción de modelos para sistemas paramétricos (PDF)
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- Benner, Peter; Cohen, Albert; Ohlberger, Mario; Willcox, Karen (2017). Reducción y aproximación de modelos: teoría y algoritmos . Publicaciones SIAM. doi : 10.1137 / 1.9781611974829 . ISBN 978-1-611974-81-2.
enlaces externos
- Wiki de reducción de pedidos de modelos
- Reducción de modelo para sistemas parametrizados
- Red europea de reducción de modelos