En matemáticas, un grupo pseudo-reductor sobre un campo k (a veces llamado grupo k -reductor ) es un grupo algebraico afín conectado uniformemente definido sobre k cuyo radical k -unipotente (es decir, el k- subgrupo k normal unipotente conectado uniformemente más grande ) es trivial . Sobre los campos perfectos, estos son los mismos que los grupos reductivos (conectados) , pero sobre los campos no perfectos, Jacques Tits encontró algunos ejemplos de grupos pseudo-reductivos que no son reductivos. Un grupo k pseudo-reductivo no necesita ser reductivo (ya que la formación del k-El radical unipotente generalmente no conmuta con extensión escalar no separable en k , como la extensión escalar a un cierre algebraico de k ). Los grupos pseudo-reductivos surgen naturalmente en el estudio de grupos algebraicos sobre campos funcionales de variedades de dimensión positiva en característica positiva (incluso sobre un campo perfecto de constantes).
Springer (1998) ofrece una exposición de los resultados de Tits sobre grupos pseudo-reductivos, mientras que Conrad, Gabber & Prasad (2010) se basa en el trabajo de Tits para desarrollar una teoría general de la estructura, que incluye temas más avanzados como técnicas de construcción, sistemas de raíces y grupos de raíces y celdas abiertas, teoremas de clasificación y aplicaciones a teoremas de conjugación racional para grupos afines conectados uniformemente en campos arbitrarios. La teoría general (con aplicaciones) a partir de 2010 se resume en Rémy (2011) , y el trabajo posterior en la segunda edición de Conrad, Gabber & Prasad (2015) y en Conrad & Prasad (2016) proporciona más refinamientos.
Ejemplos de grupos pseudo reductores que no son reductores
Suponga que k es un campo no perfecto de característica 2 y que a es un elemento de k que no es un cuadrado. Sea G el grupo de elementos distintos de cero x + y √ a en k [ √ a ]. Hay un morfismo de G al grupo multiplicativo G m toma de x + y √ una a su norma x 2 - ay 2 , y el núcleo es el subgrupo de elementos de norma 1. El subyacente reducida esquema del kernel geométrico es isomorfo a el grupo aditivo G a y es el radical unipotente de la fibra geométrica de G , pero este esquema de subgrupo reducido de la fibra geométrica no está definido sobre k (es decir, no surge de un subesquema cerrado de G sobre el campo terrestre k ) y el radical k -unipotente de G es trivial. Entonces G es un grupo k pseudo-reductivo pero no es un grupo k reductivo . Una construcción similar funciona usando una extensión finita primitiva no trivial puramente inseparable de cualquier campo imperfecto en cualquier característica positiva, la única diferencia es que la fórmula para el mapa normativo es un poco más complicada que en los ejemplos cuadráticos anteriores.
De manera más general, si K es una extensión finita no trivial puramente inseparable de k y G es cualquier grupo K reductivo conectado no trivial definido, entonces la restricción de Weil H = R K / k ( G ) es un grupo k afín conectado uniformemente para los que hay un (sobreyectiva) homomorfismo de H K en G . El núcleo de este K -homomorfismo desciende del radical unipotente de la fibra geométrica de H y no está definido sobre k (es decir, no surge de un esquema de subgrupo cerrado de H ), por lo que R K / k ( G ) es pseudo-reductor pero no reduccionista. El ejemplo anterior es el caso especial que usa el grupo multiplicativo y la extensión K = k [ √ a ].
Clasificación y fenómenos exóticos
En campos de características superiores a 3, todos los grupos pseudorreductores pueden obtenerse de los grupos reductores mediante la "construcción estándar", una generalización de la construcción anterior. La construcción estándar implica una elección auxiliar de un grupo pseudo-reductor conmutativo, que resulta ser un subgrupo de Cartan de la salida de la construcción, y la principal complicación para un grupo pseudo-reductor general es que la estructura de los subgrupos de Cartan (que son siempre conmutativas y pseudorreductivas) es misteriosa. Los grupos conmutativos pseudo-reductivos no admiten una clasificación útil (en contraste con el caso reductivo conectado, para el cual son tori y por lo tanto son accesibles a través de celosías de Galois), pero módulo éste tiene una descripción útil de la situación lejos de las características 2 y 3. en términos de grupos reductores sobre algunas extensiones finitas (posiblemente inseparables) del campo terrestre.
Sobre los campos imperfectos de las características 2 y 3 existen algunos grupos pseudo-reductores extra (llamados exóticos) provenientes de la existencia de isogenias excepcionales entre grupos de tipos B y C en la característica 2, entre grupos de tipo F₄ en la característica 2 y entre grupos de tipo G₂ en la característica 3, utilizando una construcción análoga a la de los grupos Ree . Además, en la característica 2 existen posibilidades adicionales que surgen no de isogenias excepcionales sino más bien del hecho de que para el tipo C simplemente conectado (es decir, grupos simplécticos) hay raíces que son divisibles (por 2) en la red de pesos; esto da lugar a ejemplos cuyo sistema de raíces (sobre un cierre separable del campo de tierra) no es reducido; tales ejemplos existen con un toro máximo dividido y un sistema de raíces no reducido irreductible de cualquier rango positivo sobre cada campo imperfecto de la característica 2. La clasificación en la característica 3 es tan completa como en las características más grandes, pero en la característica 2 la clasificación es más completa cuando [k: k ^ 2] = 2 (debido a las complicaciones causadas por los ejemplos con un sistema de raíces no reducido, así como a fenómenos relacionados con ciertas formas cuadráticas degeneradas regulares que solo pueden existir cuando [k: k ^ 2]> 2 ). El trabajo posterior de Conrad & Prasad (2016) , basado en material adicional incluido en la segunda edición Conrad, Gabber & Prasad (2015) , completa la clasificación en la característica 2 hasta una extensión central controlada al proporcionar un conjunto exhaustivo de construcciones adicionales que solo existen cuando [k: k ^ 2]> 2 , descansando en última instancia en una noción de grupo ortogonal especial adjunto a espacios cuadráticos regulares pero degenerados y no completamente defectuosos en la característica 2.
Referencias
- Conrad, Brian; Gabber, Ofer; Prasad, Gopal (2010), Pseudo-reductive groups , New Mathematical Monographs, 17 (1 ed.), Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511661143 , ISBN 978-0-521-19560-7, MR 2723571
- Conrad, Brian; Gabber, Ofer; Prasad, Gopal (2015), Pseudo-reductive groups , New Mathematical Monographs, 26 (2 ed.), Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9781316092439 , ISBN 978-1-107-08723-1, MR 3362817
- Conrad, Brian; Prasad, Gopal (2016), Clasificación de grupos pseudo-reductores. , Annals of Mathematics Studies, 191 , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-16793-0, JSTOR j.ctt18z4hnr , MR 3379926
- Rémy, Bertrand (2011), "Groupes algébriques pseudo-réductifs et applications (d'après J. Tits et B. Conrad - O. Gabber - G. Prasad)" (PDF) , Astérisque (339): 259–304 , ISBN 978-2-85629-326-3, ISSN 0303-1179 , MR 2906357
- Springer, Tonny A. (1998), Grupos algebraicos lineales , Progreso en matemáticas, 9 (2a ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7, MR 1642713