En matemáticas, un grupo Ree es un grupo de tipo Lie sobre un campo finito construido por Ree ( 1960 , 1961 ) a partir de un automorfismo excepcional de un diagrama de Dynkin que invierte la dirección de los enlaces múltiples, generalizando los grupos de Suzuki encontrados por Suzuki utilizando un método diferente. Fueron la última de las infinitas familias de grupos finitos simples por descubrir.
A diferencia de los grupos de Steinberg , los grupos Ree no están dados por los puntos de un grupo algebraico reductivo conectado definido sobre un campo finito; en otras palabras, no existe un "grupo Ree algebraico" relacionado con los grupos Ree de la misma manera que (digamos) los grupos unitarios están relacionados con los grupos de Steinberg. Sin embargo, existen algunos grupos algebraicos pseudo-reductivos exóticos sobre campos no perfectos cuya construcción está relacionada con la construcción de grupos Ree, ya que utilizan los mismos automorfismos exóticos de los diagramas de Dynkin que cambian la longitud de las raíces.
Tits (1960) definió grupos Ree sobre campos infinitos de características 2 y 3. Tits (1989) y Hée (1990) introdujeron grupos Ree de álgebras Kac-Moody de dimensión infinita .
Construcción
Si X es un diagrama Dynkin , Chevalley construido grupos algebraicos de división correspondientes a X , en particular los grupos que dan X ( F ) con valores en un campo F . Estos grupos tienen los siguientes automorfismos:
- Cualquier endomorfismo σ del campo F induce un endomorfismo α σ del grupo X ( F )
- Cualquier automorfismo π del diagrama de Dynkin induce un automorfismo α π del grupo X ( F ) .
Los grupos de Steinberg y Chevalley se pueden construir como puntos fijos de un endomorfismo de X ( F ) para F el cierre algebraico de un campo. Para los grupos de Chevalley, el automorfismo es el endomorfismo de Frobenius de F , mientras que para los grupos de Steinberg el automorfismo es el endomorfismo de Frobenius multiplicado por un automorfismo del diagrama de Dynkin.
Sobre los campos de la característica 2 los grupos B 2 ( F ) y F 4 ( F ) y sobre los campos de la característica 3 los grupos G 2 ( F ) tienen un endomorfismo cuyo cuadrado es el endomorfismo α φ asociado al endomorfismo de Frobenius φ del campo F . En términos generales, este endomorfismo α π proviene del automorfismo de orden 2 del diagrama de Dynkin, donde se ignoran las longitudes de las raíces.
Supongamos que el campo F tiene un endomorfismo σ cuyo cuadrado es el endomorfismo de Frobenius: σ 2 = φ . Entonces, el grupo Ree se define como el grupo de elementos g de X ( F ) tal que α π ( g ) = α σ ( g ) . Si el campo F es perfecto entonces α π y α φ son automorfismos, y el grupo Ree es el grupo de puntos fijos de la involución α φ / α π de X ( F ) .
En el caso de que F sea un campo finito de orden p k (con p = 2 o 3) hay un endomorfismo con el cuadrado de Frobenius exactamente cuando k = 2 n + 1 es impar, en cuyo caso es único. Entonces, esto da a los grupos Ree finitos como subgrupos de B 2 (2 2 n +1 ), F 4 (2 2 n +1 ) y G 2 (3 2 n +1 ) fijados por una involución.
Grupos de Chevalley, grupo Steinberg y grupos Ree
La relación entre los grupos Chevalley, el grupo Steinberg y los grupos Ree es aproximadamente la siguiente. Dado un diagrama de Dynkin X , Chevalley construyó un esquema de grupo sobre los enteros Z cuyos valores sobre campos finitos son los grupos de Chevalley. En general, se pueden tomar los puntos fijos de un endomorfismo α de X ( F ) donde F es el cierre algebraico de un campo finito, de modo que alguna potencia de α es alguna potencia del endomorfismo de Frobenius φ. Los tres casos son los siguientes:
- Para los grupos de Chevalley, α = φ n para algún número entero positivo n . En este caso, el grupo de puntos fijos es también el grupo de puntos de X definidos sobre un campo finito.
- Para grupos Steinberg, α m = φ n para algunos números enteros positivos m , n con m divisoria n y m > 1. En este caso el grupo de puntos fijos es también el grupo de puntos de una forma retorcida (quasisplit) de X definida sobre un campo finito.
- Para los grupos Ree, α m = φ n para algunos enteros positivos m , n donde m no divide n . En la práctica, m = 2 y n es impar. Los grupos Ree no se dan como los puntos de algún grupo algebraico conectado con valores en un campo. son los puntos fijos de un orden m = 2 automorfismo de un grupo definido sobre un campo de orden p n con n impar, y no hay un campo correspondiente de orden p n / 2 (aunque a algunos autores les gusta pretender que hay en su notación para los grupos).
Ree grupos de tipo 2 B 2
Los grupos Ree de tipo 2 B 2 fueron encontrados por primera vez por Suzuki (1960) utilizando un método diferente, y generalmente se denominan grupos de Suzuki . Ree notó que podrían construirse a partir de los grupos de tipo B 2 utilizando una variación de la construcción de Steinberg (1959) . Ree se dio cuenta de que se podría aplicar una construcción similar a los diagramas de Dynkin F 4 y G 2 , dando lugar a dos nuevas familias de grupos simples finitos.
Ree grupos de tipo 2 G 2
Los grupos Ree de tipo 2 G 2 (3 2 n +1 ) fueron introducidos por Ree (1960) , quien demostró que todos son simples excepto el primero 2 G 2 (3), que es isomorfo al grupo de automorfismos de SL 2 (8) . Wilson (2010) dio una construcción simplificada de los grupos Ree, como los automorfismos de un espacio vectorial de 7 dimensiones sobre el campo con 3 2 n +1 elementos que conservan una forma bilineal, una forma trilineal y un producto bilineal.
El grupo Ree tiene el orden q 3 ( q 3 + 1) ( q - 1) donde q = 3 2 n +1
El multiplicador de Schur es trivial para n ≥ 1 y para 2 G 2 (3) ′.
El grupo de automorfismo externo es cíclico de orden 2 n + 1.
El grupo Ree también se denota ocasionalmente por Ree ( q ), R ( q ) o E 2 * ( q )
El grupo Ree 2 G 2 ( q ) tiene una representación de permutación doblemente transitiva en q 3 + 1 puntos, y más precisamente actúa como automorfismos de un sistema Steiner S (2, q +1, q 3 +1) . También actúa sobre un espacio vectorial de 7 dimensiones sobre el campo con q elementos ya que es un subgrupo de G 2 ( q ).
Los subgrupos 2-sylow de los grupos Ree son abelianos elementales de orden 8. El teorema de Walter muestra que los únicos otros grupos simples finitos no abelianos con subgrupos abelianos Sylow 2 son los grupos lineales especiales proyectivos en dimensión 2 y el grupo Janko J1 . Estos grupos también jugaron un papel en el descubrimiento del primer grupo esporádico moderno. Tienen centralizadores de involución de la forma Z / 2 Z × PSL 2 ( q ) , y al investigar grupos con un centralizador de involución de la forma similar Z / 2 Z × PSL 2 (5) Janko encontró el grupo esporádico J 1 . Kleidman (1988) determinó sus subgrupos máximos.
Los grupos Ree del tipo 2 G 2 son excepcionalmente difíciles de caracterizar. Thompson ( 1967 , 1972 , 1977 ) estudió este problema y pudo demostrar que la estructura de dicho grupo está determinada por un cierto automorfismo σ de un campo finito de característica 3, y que si el cuadrado de este automorfismo es el Frobenius automorfismo, entonces el grupo es el grupo Ree. También dio algunas condiciones complicadas satisfechas por el automorfismo σ . Finalmente Bombieri ( 1980 ) usó la teoría de la eliminación para mostrar que las condiciones de Thompson implicaban que σ 2 = 3 en todos los casos pequeños excepto 178, que fueron eliminados usando una computadora por Odlyzko y Hunt. Bombieri se enteró de este problema después de leer un artículo sobre la clasificación de Gorenstein (1979) , quien sugirió que alguien externo a la teoría de grupos podría ayudar a resolverlo. Enguehard (1986) dio una descripción unificada de la solución de este problema por Thompson y Bombieri.
Ree grupos de tipo 2 F 4
Los grupos Ree de tipo 2 F 4 (2 2 n +1 ) fueron introducidos por Ree (1961) . Son simples excepto por el primero 2 F 4 (2) , que Tits (1964) mostró que tiene un subgrupo simple de índice 2, ahora conocido como el grupo de Tits . Wilson (2010b) dio una construcción simplificada de los grupos Ree como las simetrías de un espacio de 26 dimensiones sobre el campo de orden 2 2 n +1 conservando una forma cuadrática, una forma cúbica y una multiplicación parcial.
El grupo Ree 2 F 4 (2 2 n +1 ) tiene el orden q 12 ( q 6 + 1) ( q 4 - 1) ( q 3 + 1) ( q - 1) donde q = 2 2 n +1 . El multiplicador de Schur es trivial. El grupo de automorfismo externo es cíclico de orden 2 n + 1.
Estos grupos Ree tienen la propiedad inusual de que el grupo Coxeter de su par BN no es cristalográfico: es el grupo diedro de orden 16. Tits (1983) mostró que todos los octágonos Moufang provienen de grupos Ree de tipo 2 F 4 .
Ver también
Referencias
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enlaces externos
- ATLAS: Ree grupo R (27)