Espacio pseudométrico

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En matemáticas , un espacio pseudométrico es una generalización de un espacio métrico en el que la distancia entre dos puntos distintos puede ser cero. Los espacios pseudométricos fueron introducidos por Đuro Kurepa ^{[1] [2]} en 1934. De la misma manera que todo espacio normado es un espacio métrico , todo espacio seminormado es un espacio pseudométrico. Debido a esta analogía, el término espacio semimétrico (que tiene un significado diferente en topología ) a veces se usa como sinónimo, especialmente en análisis funcional .

Un espacio pseudométrico es un conjunto junto con una función de valor real no negativa (llamada pseudométrica ) tal que para cada ,${\ estilo de visualización (X, d)}$${\ estilo de visualización X}$${\displaystyle d\colon X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$${\displaystyle x,y,z\in X}$

A diferencia de un espacio métrico, los puntos en un espacio pseudométrico no necesitan ser distinguibles ; es decir, uno puede tener para valores distintos .${\displaystyle d(x,y)=0}$${\displaystyle x\neq y}$

que forman una base para la topología. ^[3] Se dice que un espacio topológico es un espacio pseudometrizable ^[4] si al espacio se le puede dar una pseudométrica tal que la topología pseudométrica coincida con la topología dada en el espacio.

La diferencia entre pseudometría y métrica es totalmente topológica. Es decir, una pseudométrica es una métrica si y sólo si la topología que genera es T ₀ (es decir, los puntos distintos son topológicamente distinguibles).

Las definiciones de secuencias de Cauchy y la terminación métrica para espacios métricos se trasladan a espacios pseudométricos sin cambios. ^[5]

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