Módulo algebraicamente compacto

En matemáticas , los módulos algebraicamente compactos , también llamados módulos inyectivos puros , son módulos que tienen una cierta propiedad "agradable" que permite la solución de infinitos sistemas de ecuaciones en el módulo por medios finitos. Las soluciones a estos sistemas permiten la extensión de ciertos tipos de homomorfismos de módulos . Estos módulos algebraicamente compactos son análogos a los módulos inyectivos , donde uno puede extender todos los homomorfismos del módulo. Todos los módulos inyectivos son algebraicamente compactos, y la analogía entre los dos se hace bastante precisa mediante una incorporación de categorías.

donde ambos conjuntos $, I$ y $J$ , pueden ser infinitos, y para cada $i$ el número de elementos distintos de cero es finito. $m_{i}\en M,$ $r_{i,j}\en R$

El objetivo es decidir si tal sistema tiene solución , es decir, si existen elementos $x j$ de $M$ tales que todas las ecuaciones del sistema se satisfagan simultáneamente. (No se requiere que solo un número finito de $x j$ sean distintos de cero).

El módulo M es algebraicamente compacto si, para todos estos sistemas, si cada subsistema formado por un número finito de ecuaciones tiene una solución, entonces todo el sistema tiene una solución. (Las soluciones para los diversos subsistemas pueden ser diferentes).

Por otro lado, un homomorfismo de módulo $M \to K$ es una incrustación pura si el homomorfismo inducido entre los productos tensoriales $C \otimes M \to C \otimes K$ es inyectiva para todo derecho $R$ -módulo $C$ . El módulo $M$ es inyectivo puro si cualquier homomorfismo inyectivo puro $j : M \to K$ se divide (es decir, existe $f : K \to M$ con ). $f\circ j=1_{M}$

Todo espacio vectorial es algebraicamente compacto (dado que es puramente inyectivo). Más generalmente, todo módulo inyectivo es algebraicamente compacto, por la misma razón.