q -derivado

Q-análogo de la derivada ordinaria

En matemáticas , en el área de combinatoria y cálculo cuántico , la q -derivada , o derivada de Jackson , es un q -análogo de la derivada ordinaria , introducido por Frank Hilton Jackson . Es el inverso de la integración q de Jackson . Para otras formas de derivado q, consulte ( Chung et al. (1994) ).error de harvtxt: no hay destino: CITEREFChungChungNamKang1994 ( ayuda )

Definición

La q -derivada de una función f ( x ) se define como ^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}$

También se escribe a menudo como . El derivado q también se conoce como el derivado de Jackson .${\displaystyle D_{q}f(x)}$

Formalmente, en términos del operador de desplazamiento de Lagrange en variables logarítmicas, equivale al operador

${\displaystyle D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,}$

que va a la derivada simple como .${\displaystyle \to {\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle q\to 1}$

Es manifiestamente lineal,

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.}$

Tiene una regla del producto análoga a la regla del producto derivado ordinario, con dos formas equivalentes

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).}$

De manera similar, satisface una regla del cociente,

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.}$

También existe una regla similar a la regla de la cadena para derivados ordinarios. Deja . Luego${\displaystyle g(x)=cx^{k}}$

${\displaystyle \displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).}$

La función propia de la q -derivada es la q -exponencial e _q ( x ).

Relación con derivados ordinarios

La diferenciación Q se asemeja a la diferenciación ordinaria, con diferencias curiosas. Por ejemplo, la q -derivada del monomio es: ^[2]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}}$

donde está el paréntesis q de n . Tenga en cuenta que, por lo tanto, la derivada ordinaria se recupera en este límite.${\displaystyle [n]_{q}}$${\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}$

La n -ésima q -derivada de una función se puede dar como: ^[3]

${\displaystyle (D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]!_{q}}$

siempre que la n -ésima derivada ordinaria de f exista en x = 0. Aquí, es el símbolo q -Pochhammer , y es el q -factorial . Si es analítico , podemos aplicar la fórmula de Taylor a la definición de obtener${\displaystyle (q;q)_{n}}$${\displaystyle [n]!_{q}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle D_{q}(f(x))}$

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).}$

A continuación se muestra un análogo q de la expansión de Taylor de una función alrededor de cero: ^[2]

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]!_{q}}}.}$

Derivados de orden superior${\displaystyle q}$

Se conoce la siguiente representación para las derivadas de orden superior : ^{[4] [5]}${\displaystyle q}$

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {1}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}_{q}q^{{\binom {k}{2}}-(n-1)k}f(q^{k}x).}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$es el coeficiente -binomial. Al cambiar el orden de la suma como , obtenemos la siguiente fórmula: ^{[4] [6]}${\displaystyle q}$${\displaystyle r=n-k}$

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {(-1)^{n}q^{-{\binom {n}{2}}}}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}{\binom {n}{r}}_{q}q^{\binom {r}{2}}f(q^{n-r}x).}$

De orden superior De derivados se utilizan para fórmula -Taylor y la - fórmula Rodrigues' (la fórmula utilizada para construir - polinomios ortogonales ^[4] ).${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

Generalizaciones

Post cálculo cuántico

El cálculo post cuántico es una generalización de la teoría del cálculo cuántico y utiliza el siguiente operador: ^{[7] [8]}

${\displaystyle D_{p,q}f(x):={\frac {f(px)-f(qx)}{(p-q)x}},\quad x\neq 0.}$

Diferencia de Hahn

Wolfgang Hahn introdujo el siguiente operador (diferencia de Hahn): ^{[9] [10]}

${\displaystyle D_{q,\omega }f(x):={\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{(q-1)x+\omega }},\quad 0<q<1,\quad \omega >0.}$

Cuando este operador se reduce a -derivado, y cuando se reduce a diferencia hacia adelante. Esta es una herramienta exitosa para construir familias de polinomios ortogonales e investigar algunos problemas de aproximación. ^{[11] [12] [13]}${\displaystyle \omega \to 0}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle \beta }$-derivado

${\displaystyle \beta }$-derivado es un operador definido de la siguiente manera: ^{[14] [15]}

${\displaystyle D_{\beta }f(t):={\frac {f(\beta (t))-f(t)}{\beta (t)-t}},\quad \beta \neq t,\quad \beta :I\to I.}$

En la definición, es un intervalo dado y es cualquier función continua que aumenta estrictamente de manera monotónica (es decir ). Entonces, cuando este operador es -derivado, y cuando este operador es diferencia de Hahn.${\displaystyle I}$${\displaystyle \beta (t)}$${\displaystyle t>s\rightarrow \beta (t)>\beta (s)}$${\displaystyle \beta (t)=qt}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \beta (t)=qt+\omega }$

Ver también

• Derivado (generalizaciones)
• Jackson integral
• Q-exponencial
• Polinomios de diferencia Q
• Cálculo cuántico
• Entropía de Tsallis

Referencias

1. FH Jackson (1908), On -functions y un operador de cierta diferencia${\displaystyle q}$ , Trans. Roy. Soc. Edin., 46 , 253-281.
2. Victor Kac, Pokman Cheung, Cálculo cuántico , Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN  0-387-95341-8
3. Ernst, T. (2012). Un tratamiento integral del -cálculo. Springer Science & Business Media.${\displaystyle q}$
4. Koepf, Wolfram. (2014). Suma hipergeométrica. Un enfoque algorítmico para la suma y las identidades de funciones especiales. 10.1007 / 978-1-4471-6464-7.
5. Koepf, W., Rajković, PM y Marinković, SD (2007). Propiedades delas funciones -holonómicas.${\displaystyle q}$
6. Annaby, MH y Mansour, ZS (2008). -Serie de Taylor e interpolación paraoperadores de diferencia deJackson. Revista de análisis y aplicaciones matemáticas, 344 (1), 472-483.${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$
7. Gupta V., Rassias TM, Agrawal PN, Acu AM (2018) Conceptos básicos del cálculo post-cuántico. En: Avances recientes en la teoría de la aproximación constructiva. Optimización de Springer y sus aplicaciones, vol. 138. Springer.
8. Duran, U. (2016). Post Cálculo Cuántico, M.Sc. Tesis en el Departamento de Matemáticas, Escuela de Graduados de Ciencias Naturales y Aplicadas de la Universidad de Gaziantep.
9. Hahn, W. (1949). Matemáticas. Nachr. 2: 4-34.
10. Hahn, W. (1983) Monatshefte Math. 95: 19-24.
11. Foupouagnigni, M .: polinomios ortogonales de Laguerre-Hahn con respecto al operador de Hahn: ecuación en diferencias de cuarto orden para el rth asociado y ecuaciones de Laguerre-Freud para los coeficientes de recurrencia. Doctor. Tesis, Universit´e Nationale du B´enin, B´enin (1998).
12. Kwon, K., Lee, D., Park, S., Yoo, B .: KyungpookMath. J. 38, 259 - 281 (1998).
13. Álvarez-Nodarse, R .: J. Comput. Apl. Matemáticas. 196, 320 - 337 (2006).
14. Auch, T. (2013): Desarrollo y aplicación de diferencia y cálculo fraccional en escalas de tiempo discretas. Tesis de doctorado, Universidad de Nebraska-Lincoln.
15. Hamza, A., Sarhan, A., Shehata, E. y Aldwoah, K. (2015). Un cálculo general de diferencias cuánticas. Avances en ecuaciones en diferencias, 2015 (1), 182.

• Exton, H. (1983), Funciones y aplicaciones hipergeométricas , Nueva York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538${\displaystyle q}$   
• Chung, KS, Chung, WS, Nam, ST y Kang, HJ (1994). Nuevo -derivado y -logaritmo${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$ . Revista Internacional de Física Teórica, 33 , 2019-2029.

Otras lecturas

• J. Koekoek, R. Koekoek, Una nota sobre el operador de la derivada q , (1999) ArXiv math / 9908140
• Thomas Ernst, La historia del q-Calculus y un nuevo método , (2001),