En matemática combinatoria , un q -exponencial es un q -análogo de la función exponencial , es decir, la función propia de una q -derivada. Hay muchas q -derivadas, por ejemplo, la clásica q -derivada , el operador Askey-Wilson, etc. Por lo tanto, a diferencia de las exponenciales clásicas, las q -exponenciales no son únicas. Por ejemplo,es el q -exponencial correspondiente al clásico q -derivado mientras son funciones propias de los operadores Askey-Wilson.
El q -exponencial Se define como
dónde es el q -factorial y
es el símbolo q -Pochhammer . Que este es el q -análogo de la exponencial se sigue de la propiedad
donde la derivada de la izquierda es la q -derivada . Lo anterior se verifica fácilmente considerando la q -derivada del monomio
Aquí, es el soporte q . Para otras definiciones de la función q -exponencial, vea Exton (1983)error de harvtxt: sin destino: CITEREFExton1983 ( ayuda ), Ismail y Zhang (1994)error de harvtxt: sin destino: CITEREFIsmailZhang1994 ( ayuda ), Suslov (2003)error de harvtxt: sin destino: CITEREFSuslov2003 ( ayuda )y Cieslinski (2011)error de harvtxt: sin destino: CITEREFCieslinski2011 ( ayuda ).
Para , una función que está estrechamente relacionada es Es un caso especial de la serie hipergeométrica básica ,
Claramente,
Relación con el dilogaritmo
tiene la siguiente representación de producto infinita:
Por otro lado, sostiene. Cuándo,
Tomando el limite ,
dónde es el dilogaritmo .