giros de curvas

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En el campo matemático de la geometría algebraica , una curva elíptica E sobre un campo K tiene un giro cuadrático asociado , que es otra curva elíptica que es isomorfa a E sobre un cierre algebraico de K. En particular, un isomorfismo entre curvas elípticas es una isogenia de grado 1, que es una isogenia invertible. Algunas curvas tienen giros de orden superior, como giros cúbicos y cuárticos . La curva y sus giros tienen la misma j-invariante .

Primero suponga que K es un campo de característica diferente de 2. Sea E una curva elíptica sobre K de la forma:

Dado que no es un cuadrado en , el giro cuadrático de es la curva , definida por la ecuación:${\ estilo de visualización d \ neq 0}$${\ estilo de visualización K}$${\ estilo de visualización E}$${\ estilo de visualización E ^ {d}}$

Las dos curvas elípticas y no son isomorfas sobre , sino más bien sobre la extensión del campo .${\ estilo de visualización E}$${\ estilo de visualización E ^ {d}}$${\ estilo de visualización K}$ ${\displaystyle K({\sqrt {d}})}$

Dado tal que es un polinomio irreducible sobre K, el giro cuadrático de E es la curva E ^d , definida por la ecuación:${\ estilo de visualización d \ en K}$${\ estilo de visualización X^{2}+X+d}$

Las dos curvas elípticas y no son isomorfas sobre , sino sobre la extensión del campo .${\ estilo de visualización E}$${\ estilo de visualización E ^ {d}}$${\ estilo de visualización K}$ ${\displaystyle K[X]/(X^{2}+X+d)}$

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