En matemáticas, en particular, en geometría algebraica, una isogenia es un morfismo de grupos algebraicos (también conocido como variedades de grupo) que es sobreyectiva y tiene un núcleo finito .
Si los grupos son variedades abelianas , entonces cualquier morfismo f : A → B de las variedades algebraicas subyacentes que es sobreyectiva con finitos fibras es automáticamente un isogenia, a condición de que f (1 A ) = 1 B . Tal isogenia f proporciona entonces un homomorfismo de grupo entre los grupos de puntos con valor k de A y B , para cualquier campo k sobre el que se define f .
Los términos "isogenia" e "isógeno" provienen de la palabra griega ισογενη-ς, que significa "igual en especie o naturaleza". El término "isogenia" fue introducido por Weil ; antes de esto, el término "isomorfismo" se usaba de manera algo confusa para lo que ahora se llama una isogenia.
Caso de variedades abelianas
Para las variedades abelianas , como las curvas elípticas , esta noción también se puede formular de la siguiente manera:
Sean E 1 y E 2 variedades abelianas de la misma dimensión sobre un campo k . Una isogenia entre E 1 y E 2 es un morfismo denso f : E 1 → E 2 de variedades que conserva puntos de base (es decir, f mapea el punto de identidad en E 1 con el de E 2 ).
Esto es equivalente a la noción anterior, ya que todo morfismo denso entre dos variedades abelianas de la misma dimensión es automáticamente sobreyectiva con fibras finitas, y si conserva las identidades, entonces es un homomorfismo de grupos.
Dos variedades abelianas E 1 y E 2 se denominan isógenas si hay una isogenia E 1 → E 2 . Se puede demostrar que se trata de una relación de equivalencia; en el caso de curvas elípticas, la simetría se debe a la existencia de la isogenia dual . Como antes, toda isogenia induce homomorfismos de los grupos de los puntos con valores k de las variedades abelianas.
Ver también
Referencias
- Lang, Serge (1983). Variedades Abelianas . Springer Verlag. ISBN 3-540-90875-7.
- Mumford, David (1974). Variedades Abelianas . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-560528-4.