En la rama de las matemáticas llamada teoría del potencial , un dominio de cuadratura en un espacio euclidiano real bidimensional es un dominio D (un conjunto conectado abierto ) junto con un subconjunto finito { z 1 ,…, z k } de D tal que, para cada función u armónica e integrable sobre D con respecto a la medida del área, la integral de u con respecto a esta medida viene dada por una "fórmula de cuadratura"; es decir,
donde c j son constantes complejas distintas de cero independientes de u .
El ejemplo más obvio es cuando D es un disco circular: aquí k = 1, z 1 es el centro del círculo y c 1 es igual al área de D. Esa fórmula de cuadratura expresa la propiedad del valor medio de las funciones armónicas con respecto a los discos. .
Se sabe que existen dominios en cuadratura para todos los valores de k . Existe una definición análoga de dominios en cuadratura en el espacio euclidiano de dimensión d mayor que 2. También existe una interpretación electrostática alternativa de los dominios en cuadratura: un dominio D es un dominio en cuadratura si una distribución uniforme de carga eléctrica en D crea la misma electrostática campo fuera de D como lo hace una k -tupla de cargas puntuales en los puntos z 1 ,…, z k .
Los dominios de cuadratura y numerosas generalizaciones de los mismos (por ejemplo, reemplazar la medida de área por la medida de longitud en el límite de D) se han encontrado en los últimos años en diversas conexiones, como problemas inversos de la gravitación newtoniana , flujos de Hele-Shaw de fluidos viscosos e isoperimétricos puramente matemáticos. problemas, y el interés en ellos parece estar creciendo constantemente. Fueron el tema de una conferencia internacional en la Universidad de California en Santa Bárbara en 2003 y el estado del arte a esa fecha puede verse en las actas de esa conferencia, publicado por Birkhäuser Verlag.
Referencias
- Ebenfelt, Peter (2005). Dominios en cuadratura y sus aplicaciones: volumen del aniversario de Harold S. Shapiro . Birkhäuser. ISBN 3-7643-7145-5. Consultado el 11 de abril de 2007 .
- Aharonov, D .; Shapiro, HS (1976). "Dominios en los que las funciones analíticas satisfacen las identidades en cuadratura". J. Anal. Matemáticas . 30 : 39–73. doi : 10.1007 / BF02786704 .