Flujo de Hele-Shaw

El flujo de Hele-Shaw se define como el flujo de Stokes entre dos placas planas paralelas separadas por un espacio infinitesimalmente pequeño, llamado así por Henry Selby Hele-Shaw , quien estudió el problema en 1898. ^{[1] [2]} Se pueden aproximar varios problemas en mecánica de fluidos. a los flujos de Hele-Shaw y, por lo tanto, la investigación de estos flujos es de importancia. La aproximación al flujo de Hele-Shaw es especialmente importante para los microflujos. Esto se debe a las técnicas de fabricación, que crean configuraciones planas poco profundas y los números de microflujos de Reynolds típicamente bajos .

La ecuación que rige los flujos de Hele-Shaw es idéntica a la del flujo potencial no viscoso y al flujo de fluido a través de un medio poroso ( ley de Darcy ). Permite así la visualización de este tipo de flujo en dos dimensiones. ^{[3] [4] [5]}

Formulación matemática de los flujos de Hele-Shaw

Una descripción esquemática de una configuración de Hele-Shaw.

Sean , las direcciones paralelas a las placas planas y la dirección perpendicular, siendo el espacio entre las placas (en ). Cuando el espacio entre placas es asintóticamente pequeño${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle H}$${\displaystyle z=0,H}$

${\displaystyle H\rightarrow 0,\,}$

el perfil de velocidad en la dirección es parabólico (es decir, es una función cuadrática de la coordenada en esta dirección). La ecuación que relaciona el gradiente de presión con la velocidad horizontal es,${\displaystyle z}$${\displaystyle {\mathbf {u} }=(u,v)}$

${\displaystyle u=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}z(H-z)\,}$

${\displaystyle v=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}z(H-z)\,}$

${\displaystyle p(x,y,t)}$es la presión local, es la viscosidad del fluido. Si bien la magnitud de la velocidad varía en la dirección, la dirección del vector de velocidad es independiente de la dirección, es decir, los patrones de línea de corriente en cada nivel son similares. Eliminando la presión en la ecuación anterior, se obtiene ^[6]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \tan ^{-1}(v/u)}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0}$

donde está la vorticidad en la dirección. Por tanto, los patrones de línea de corriente corresponden al flujo potencial (flujo de irrigación). A diferencia del flujo potencial , aquí la circulación alrededor de cualquier contorno cerrado , ya sea que encierre un objeto sólido o no, es cero,${\displaystyle \omega _{z}}$${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle C}$

${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}udx+vdy=-{\frac {1}{2\mu }}z(H-z)\oint _{C}{\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy=0}$

donde la última integral se establece en cero porque es una función de un solo valor y la integración se realiza sobre un contorno cerrado. ${\displaystyle p}$

La velocidad vertical es como se muestra en la ecuación de continuidad. Integrando sobre la continuidad obtenemos la ecuación gobernante de los flujos de Hele-Shaw, la Ecuación de Laplace :${\displaystyle w=0}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial y^{2}}}=0.}$

Esta ecuación se complementa con las condiciones de límite de no penetración en las paredes laterales de la geometría,

${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }p\cdot {\hat {n}}=0,\,}$

donde es un vector unitario perpendicular a la pared lateral.${\displaystyle {\hat {n}}}$

Celda de Hele-Shaw

El término celda de Hele-Shaw se usa comúnmente para los casos en los que se inyecta un fluido en la geometría poco profunda desde arriba o debajo de la geometría, y cuando el fluido está delimitado por otro líquido o gas. ^[7] Para tales flujos, las condiciones de contorno se definen por presiones y tensiones superficiales.

Ver también

• Agregación limitada por difusión
• Teoría de la lubricación
• Ecuación de película delgada
• Bolso de mano Hele-Shaw

Un embrague de transmisión mecánica inventado por el profesor Hele-Shaw, utilizando los principios de un flujo Hele-Shaw

Referencias

1. Shaw, Henry SH (1898). Investigación de la naturaleza de la resistencia superficial del agua y del movimiento de la línea de corriente en determinadas condiciones experimentales . Inst. NA OCLC  17929897 .^{[ página necesaria ]}
2. Hele-Shaw, HS (1 de mayo de 1898). "El Flujo del Agua" . Naturaleza . 58 (1489): 34–36. Código bibliográfico : 1898Natur..58 ... 34H . doi : 10.1038 / 058034a0 .
3. Hermann Schlichting , Teoría de la capa límite , 7ª ed. Nueva York: McGraw-Hill, 1979. ^{[ página necesaria ]}
4. LM Milne-Thomson (1996). Hidrodinámica teórica . Publicaciones de Dover, Inc.
5. Horace Lamb , hidrodinámica (1934). ^{[ página necesaria ]}
6. Acheson, DJ (1991). Dinámica de fluidos elemental.
7. Saffman, PG (21 de abril de 2006). "Digitación viscosa en células de Hele-Shaw" (PDF) . Revista de Mecánica de Fluidos . 173 : 73–94. doi : 10.1017 / s0022112086001088 .