La ecuación cuántica de Boltzmann, también conocida como ecuación de Uehling-Uhlenbeck , [1] es la modificación mecánica cuántica de la ecuación de Boltzmann , que da la evolución en el tiempo sin equilibrio de un gas de partículas que interactúan mecánicamente cuánticamente. Por lo general, la ecuación cuántica de Boltzmann se da solo como el "término de colisión" de la ecuación de Boltzmann completa, dando el cambio de la distribución del momento de un gas localmente homogéneo, pero no la deriva y la difusión en el espacio. In fue formulado originalmente por LW Nordheim (1928) [2] , y por EA Uehling y George Uhlenbeck (1933). [3]
En total generalidad (incluidos los términos de deriva de espacio p y espacio x, que a menudo se descuidan) la ecuación se representa de forma análoga a la ecuación de Boltzmann.
dónde representa un potencial aplicado externamente que actúa sobre la distribución del espacio p del gas y es el operador de colisión, que tiene en cuenta las interacciones entre las partículas de gas. La mecánica cuántica debe representarse en la forma exacta de, que depende de la física del sistema a modelar. [4]
La ecuación cuántica de Boltzmann da un comportamiento irreversible y, por tanto, una flecha del tiempo ; es decir, después de un tiempo suficientemente largo da una distribución de equilibrio que ya no cambia. Aunque la mecánica cuántica es microscópicamente reversible en el tiempo, la ecuación cuántica de Boltzmann da un comportamiento irreversible porque se descarta la información de fase [5] sólo se mantiene el número de ocupación promedio de los estados cuánticos. La solución de la ecuación cuántica de Boltzmann es, por tanto, una buena aproximación al comportamiento exacto del sistema en escalas de tiempo cortas en comparación con el tiempo de recurrencia de Poincaré , que generalmente no es una limitación severa, porque el tiempo de recurrencia de Poincaré puede ser muchas veces la edad de el universo incluso en sistemas pequeños.
La ecuación cuántica de Boltzmann se ha verificado mediante comparación directa con medidas experimentales resueltas en el tiempo y, en general, se ha utilizado mucho en la óptica de semiconductores. [6] Por ejemplo, se ha demostrado [7] que la distribución de energía de un gas de excitones en función del tiempo (en picosegundos), medida con una cámara de rayos, se aproxima a una distribución de equilibrio de Maxwell-Boltzmann .
Aplicación a la física de semiconductores
Un modelo típico de un semiconductor puede construirse sobre los supuestos de que:
- La distribución de electrones es espacialmente homogénea hasta una aproximación razonable (por lo que se puede suprimir toda dependencia de x)
- El potencial externo es una función solo de la posición y es isotrópico en el espacio p, por lo que se puede poner a cero sin perder más generalidad
- El gas está lo suficientemente diluido como para ignorar las interacciones de tres cuerpos entre electrones.
Considerando el intercambio de impulso entre electrones con momentos iniciales y , es posible derivar la expresión
Referencias
- ↑ Filbert, Francis; Hu, Jingwei; Jin, Shi (2012). "Un esquema numérico para la ecuación cuántica de Boltzmann eficiente en el régimen de fluidos". Esaim: M2An . 46 (2): 443–463. arXiv : 1009.3352 . doi : 10.1051 / m2an / 2011051 .
- ^ Nordhiem, LW; Fowler, Ralph Howard (2 de julio de 1928). "Sobre el método cinético en las nuevas estadísticas y aplicación en la teoría electrónica de la conductividad" . Actas de la Royal Society of London. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico . 119 (783): 689–698. doi : 10.1098 / rspa.1928.0126 .
- ^ Uehling, EA; Uhlenbeck, GE (1 de abril de 1933). "Transporte de fenómenos en gases de Einstein-Bose y Fermi-Dirac. I" . Revisión física . 43 (7): 552–561. doi : 10.1103 / PhysRev.43.552 . ISSN 0031-899X .
- ^ Filbert, Francis; Hu, Jingwei; Jin, Shi (2012). "Un esquema numérico para la ecuación cuántica de Boltzmann eficiente en el régimen de fluidos". Esaim: M2An . 46 (2): 443–463. arXiv : 1009.3352 . doi : 10.1051 / m2an / 2011051 .
- ^ Snoke, DW; Liu, G .; Girvin, SM (2012). "La base de la Segunda Ley de la termodinámica en la teoría cuántica de campos". Annals of Physics . 327 (7): 1825–1851. arXiv : 1112.3009 . Código Bibliográfico : 2012AnPhy.327.1825S . doi : 10.1016 / j.aop.2011.12.016 . S2CID 118666925 .
- ^ Snoke, DW (2011). "La ecuación cuántica de Boltzmann en la física de semiconductores". Annalen der Physik . 523 (1–2): 87–100. arXiv : 1011.3849 . Código Bibliográfico : 2011AnP ... 523 ... 87S . doi : 10.1002 / yp.201000102 . S2CID 119250989 .
- ^ Snoke, DW; Braun, D .; Cardona, M. (1991). "Termalización del portador en Cu 2 O: emisión de fonones por excitones". Physical Review B . 44 (7): 2991–3000. Código Bibliográfico : 1991PhRvB..44.2991S . doi : 10.1103 / PhysRevB.44.2991 . PMID 9999890 .