Efecto Hall cuántico

El efecto Hall cuántico (o efecto Hall cuántico entero ) es una versión cuantificada del efecto Hall y que se observa en sistemas de electrones bidimensionales sometidos a bajas temperaturas y fuertes campos magnéticos , en los que la resistencia Hall $R xy$ exhibe pasos que toman en los valores cuantificados en cierto nivel

{\ Displaystyle R_ {xy} = {\ frac {V _ {\ text {Hall}}} {I _ {\ text {channel}}}} = {\ frac {h} {e ^ {2} \ nu}}, }

donde $V Hall$ es el voltaje de Hall , $I canal$ es la corriente del canal , $e$ es la carga elemental y $h$ es la constante de Planck . El divisor $ν$ puede tomar un número entero ( $ν = 1, 2, 3, ...$ ) o fraccionario ( $ν = 1 / 3, 2 / 5, 3 / 7, 2 / 3, 3 / 5, 1 / 5, 2 / 9, 3 / 13, 5 / 2, 12 / 5, ...$ ) valores. Aquí, $ν$ es aproximadamente, pero no exactamente igual, al factor de llenado de los niveles de Landau . El efecto Hall cuántico se conoce como efecto Hall cuántico entero o fraccional dependiendo de si $ν$ es un número entero o una fracción, respectivamente.

La característica sorprendente del efecto Hall cuántico entero es la persistencia de la cuantificación (es decir, la meseta de Hall) a medida que varía la densidad de electrones. Dado que la densidad de electrones permanece constante cuando el nivel de Fermi está en una brecha espectral limpia, esta situación corresponde a una en la que el nivel de Fermi es una energía con una densidad finita de estados, aunque estos estados están localizados (consulte la localización de Anderson ). ^[1]

El efecto Hall cuántico fraccional es más complicado, su existencia se basa fundamentalmente en interacciones electrón-electrón. El efecto Hall cuántico fraccional también se entiende como un efecto Hall cuántico entero, aunque no de electrones sino de compuestos de flujo de carga conocidos como fermiones compuestos . En 1988, se propuso que existía el efecto Hall cuántico sin niveles de Landau . ^[2] Este efecto Hall cuántico se conoce como efecto Hall anómalo cuántico (QAH). También hay un nuevo concepto del efecto Hall de espín cuántico que es un análogo del efecto Hall cuántico, donde las corrientes de espín fluyen en lugar de las corrientes de carga. ^[3]

Aplicaciones

La cuantificación de la conductancia Hall ( ${\ Displaystyle G_ {xy} = 1 / R_ {xy}}$ ) tiene la importante propiedad de ser extremadamente precisa. Se ha encontrado que las medidas reales de la conductancia Hall son múltiplos enteros o fraccionarios de $e 2 / h$ a casi una parte en mil millones. Este fenómeno, denominado cuantificación exacta , no se comprende realmente, pero a veces se ha explicado como una manifestación muy sutil del principio de invariancia de gauge . ^[4] Se ha permitido la definición de una nueva práctica estándar para la resistencia eléctrica , en base a la resistencia cuántico dado por la constante de von Klitzing $R K$ . Esto lleva el nombre de Klaus von Klitzing , el descubridor de la cuantificación exacta. El efecto Hall cuántico también proporciona una determinación independiente extremadamente precisa de la constante de estructura fina , una cantidad de importancia fundamental en la electrodinámica cuántica .

En 1990, un valor convencional fijo $R K-90 = 25812 0,807 Ω$ se definió para el uso en las calibraciones de resistencia de todo el mundo. ^[5] El 16 de noviembre de 2018, la 26a reunión de la Conferencia General de Pesas y Medidas decidió fijar valores exactos de $h$ (la constante de Planck) $ye$ (la carga elemental),^[6] reemplazando el valor de 1990 con un valor permanente exacto valor $R K = h / e 2 = 25812 .807 45 ... Ω$ . ^[7]

Historia

El MOSFET ( transistor de efecto de campo semiconductor de óxido metálico ), inventado por Mohamed Atalla y Dawon Kahng en Bell Labs en 1959, ^[8] permitió a los físicos estudiar el comportamiento de los electrones en un gas bidimensional casi ideal . ^[9] En un MOSFET, los electrones de conducción viajan en una capa superficial delgada, y un voltaje de " puerta " controla el número de portadores de carga en esta capa. Esto permite a los investigadores explorar los efectos cuánticos operando MOSFET de alta pureza a temperaturas de helio líquido . ^[9]

La cuantificación entera de la conductancia de Hall fue predicha originalmente por los investigadores de la Universidad de Tokio Tsuneya Ando, Yukio Matsumoto y Yasutada Uemura en 1975, sobre la base de un cálculo aproximado que ellos mismos no creían que fuera cierto. ^[10] En 1978, los investigadores de la Universidad de Gakushuin, Jun-ichi Wakabayashi y Shinji Kawaji, observaron posteriormente el efecto en experimentos llevados a cabo en la capa de inversión de los MOSFET. ^[11]

En 1980, Klaus von Klitzing , trabajando en el laboratorio de alto campo magnético en Grenoble con muestras de MOSFET basadas en silicio desarrolladas por Michael Pepper y Gerhard Dorda, hizo el descubrimiento inesperado de que la resistencia de Hall estaba exactamente cuantificada. ^[12]^[9] Por este hallazgo, von Klitzing recibió el Premio Nobel de Física de 1985 . Robert Laughlin propuso posteriormente un vínculo entre la cuantificación exacta y la invariancia de calibre , quien conectó la conductividad cuantificada al transporte de carga cuantificada en una bomba de carga Thouless. ^[4]^[13] La mayoría de los experimentos de Hall cuánticos enteros se realizan ahora en heteroestructuras de arseniuro de galio , aunque se pueden utilizar muchos otros materiales semiconductores. En 2007, el efecto Hall cuántico entero se informó en el grafeno a temperaturas tan altas como la temperatura ambiente, ^[14] y en el óxido de zinc y magnesio ZnO – Mg _x Zn ₁₋_x O. ^[15]

Efecto Hall cuántico entero

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Niveles de Landau

En dos dimensiones, cuando los electrones clásicos se someten a un campo magnético, siguen órbitas circulares de ciclotrón. Cuando el sistema se trata de forma cuántica, estas órbitas se cuantifican. Para determinar los valores de los niveles de energía se debe resolver la ecuación de Schrödinger.

Dado que el sistema está sometido a un campo magnético, debe introducirse como un potencial vectorial electromagnético en la ecuación de Schrödinger . El sistema considerado es un gas de electrones que se mueve libremente en las direcciones xey, pero estrechamente confinado en la z dirección. Luego, se aplica un campo magnético a lo largo de la dirección zy según el indicador de Landau el potencial del vector electromagnético es ${\ Displaystyle \ mathbf {A} = (0, Bx, 0)}$ y el potencial escalar es ${\ Displaystyle \ phi = 0}$ . Así, la ecuación de Schrödinger para una partícula de carga ${\ Displaystyle q}$ y masa efectiva ${\ Displaystyle m ^ {*}}$ en este sistema es:

{\ Displaystyle \ left \ {{\ frac {1} {2m ^ {*}}} \ left [\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right] ^ {2} + V (z) \ right \} \ phi (x, y, z) = \ varepsilon \ phi (x, y, z)}

dónde ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ es el impulso canónico, que es reemplazado por el operador ${\ Displaystyle -i \ hbar \ nabla}$ y ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ es la energía total.

Para resolver esta ecuación es posible separarla en dos ecuaciones ya que el campo magnético solo afecta el movimiento a lo largo de xey. La energía total se convierte entonces en la suma de dos contribuciones ${\ Displaystyle \ varepsilon = \ varepsilon _ {z} + \ varepsilon _ {xy}}$ . Las dos ecuaciones correspondientes son:

En el eje z:

{\ Displaystyle \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m ^ {*}}} {\ partial ^ {2} \ over \ partial z ^ {2}} \ right] u (z) = \ varepsilon _ {z} u (z)}

Para simplemente la solución se considera ${\ Displaystyle V (z)}$ como un pozo infinito, por lo tanto, las soluciones para la dirección z son las energías ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {z} = {\ frac {n_ {z} ^ {2} \ pi ^ {2} \ hbar ^ {2}} {2m ^ {*} L ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle n_ {z} = 1,2,3 ...}$ y las funciones de onda son sinusoidales. Para las direcciones xey, la solución de la ecuación de Schrödinger es el producto de una onda plana en la dirección y con alguna función desconocida de x ya que el potencial vectorial no depende de y, es decir ${\ Displaystyle \ varphi _ {xy} = u (x) e ^ {iky}}$ . Sustituyendo este Ansatz en la ecuación de Schrödinger se obtiene la ecuación del oscilador armónico unidimensional centrada en ${\ Displaystyle x_ {k} = {\ frac {\ hbar k} {eB}}}$ .

{\ Displaystyle \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m ^ {*}}} {\ partial ^ {2} \ over \ partial x ^ {2}} + {\ frac {1} {2}} m ^ {*} \ omega _ {\ rm {c}} ^ {2} (x + l_ {B} ^ {2} k) \ right] u (x) = \ varepsilon _ {xy} u (x)}

dónde ${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {c}} = {\ frac {eB} {m ^ {*}}}}$ se define como la frecuencia del ciclotrón y ${\ Displaystyle l_ {B} ^ {2} = {\ frac {\ hbar} {eB}}}$ la longitud magnética. Las energías son:

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {xy} \ equiv \ varepsilon _ {n} = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}} \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right)}

{\ Displaystyle n = 1,2,3 ...}

Y las funciones de onda para el movimiento en el plano xy están dadas por el producto de una onda plana en y y los polinomios de Hermite , que son las funciones de onda de un oscilador armónico.

De la expresión para los niveles de Landau uno nota que la energía depende sólo de ${\ Displaystyle n}$ , no en ${\ Displaystyle k}$ . Estados con el mismo ${\ Displaystyle n}$ pero diferente ${\ Displaystyle k}$ están degenerados.

Densidad de estados

En campo cero, la densidad de estados por unidad de superficie para el gas de electrones bidimensionales, teniendo en cuenta la degeneración debida al espín, es independiente de la energía.

{\ Displaystyle n _ {\ rm {2D}} = {\ frac {m ^ {*}} {\ pi \ hbar ^ {2}}}}

.

A medida que se enciende el campo, la densidad de estados colapsa de la constante a un peine de Dirac , una serie de Dirac ${\ Displaystyle \ delta}$ funciones, correspondientes a los niveles de Landau separados ${\ Displaystyle \ Delta \ varepsilon _ {xy} = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}}}$ . Sin embargo, a temperatura finita, los niveles de Landau adquieren un ancho ${\ Displaystyle \ Gamma = {\ frac {\ hbar} {\ tau _ {i}}}}$ ser ${\ Displaystyle \ tau _ {i}}$ el tiempo entre eventos de dispersión. Comúnmente se supone que la forma precisa de los niveles de Landau es un perfil gaussiano o lorentziano .

Otra característica es que las funciones de onda forman bandas paralelas en el ${\ Displaystyle y}$ -dirección espaciada igualmente a lo largo del ${\ Displaystyle x}$ -eje, en la línea de ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$ . Dado que no hay nada especial en ninguna dirección en el ${\ Displaystyle xy}$ -plano si el potencial vectorial se eligió de manera diferente, se debe encontrar simetría circular.

Dada una muestra de dimensiones ${\ Displaystyle L_ {x} \ times L_ {y}}$ y aplicando las condiciones de contorno periódicas en el ${\ Displaystyle y}$ -dirección ${\ Displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {L_ {y}}} j}$ ser ${\ Displaystyle j}$ un número entero, se obtiene que cada potencial parabólico se coloca en un valor ${\ Displaystyle x_ {k} = l_ {B} ^ {2} k}$ .

Potenciales parabólicos a lo largo del

{\ Displaystyle x}

-eje centrado en

{\ Displaystyle x_ {k}}

con la primera función de onda correspondiente a un confinamiento de pozo infinito en el

{\ Displaystyle z}

dirección. En el

{\ Displaystyle y}

-dirección hay ondas planas viajeras.

El número de estados para cada nivel Landau y ${\ Displaystyle k}$ se puede calcular a partir de la relación entre el flujo magnético total que atraviesa la muestra y el flujo magnético correspondiente a un estado.

{\ Displaystyle N_ {B} = {\ frac {\ phi} {\ phi _ {0}}} = {\ frac {BA} {BL_ {y} \ Delta x_ {k}}} = {\ frac {A } {2 \ pi l_ {B} ^ {2}}} {\ begin {array} {lcr} & l_ {B} & \\ & = & \\ && \ end {array}} {\ frac {AeB} { 2 \ pi \ hbar}} {\ begin {array} {lcr} & \ omega _ {\ rm {c}} & \\ & = & \\ && \ end {array}} {\ frac {m ^ {* } \ omega _ {\ rm {c}} A} {2 \ pi \ hbar}}}

Por tanto, la densidad de estados por unidad de superficie es

{\ Displaystyle n_ {B} = {\ frac {m ^ {*} \ omega _ {\ rm {c}}} {2 \ pi \ hbar}}}

.

Tenga en cuenta la dependencia de la densidad de estados con el campo magnético. Cuanto mayor es el campo magnético, más estados hay en cada nivel de Landau. Como consecuencia, hay más confinamiento en el sistema ya que se ocupan menos niveles de energía.

Reescribiendo la última expresión como ${\ Displaystyle n_ {B} = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}} {\ frac {m ^ {*}} {\ pi \ hbar ^ {2}}}}$ Está claro que cada nivel de Landau contiene tantos estados como en un 2DEG en un ${\ Displaystyle \ Delta \ varepsilon = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}}}$ .

Dado que los electrones son fermiones , a cada estado disponible en los niveles de Landau le corresponden dos electrones, un electrón con cada valor del espín. ${\ Displaystyle s = \ pm {\ frac {1} {2}}}$ . Sin embargo, si se aplica un gran campo magnético, las energías se dividen en dos niveles debido al momento magnético asociado con la alineación del espín con el campo magnético. La diferencia en las energías es ${\ Displaystyle \ Delta E = \ pm {\ frac {1} {2}} g \ mu _ {\ rm {B}} B}$ ser ${\ Displaystyle g}$ un factor que depende del material ( ${\ Displaystyle g = 2}$ para electrones libres) y ${\ Displaystyle \ mu _ {\ rm {B}}}$ el magneton de Bohr . La señal ${\ displaystyle +}$ se toma cuando el giro es paralelo al campo y ${\ Displaystyle -}$ cuando es antiparalelo. Este hecho llamado división de espín implica que la densidad de estados para cada nivel se reduce a la mitad. Tenga en cuenta que ${\ Displaystyle \ Delta E}$ es proporcional al campo magnético, por lo que cuanto mayor es el campo magnético, más relevante es la división.

Densidad de estados en un campo magnético, despreciando la división de espines. (a) Los estados en cada rango

{\ Displaystyle \ hbar \ omega _ {\ rm {c}}}

se aprietan en un

{\ Displaystyle \ delta}

-función Nivel Landau. (b) Los niveles Landau tienen un ancho distinto de cero

{\ Displaystyle \ Gamma}

en una imagen más realista y se superponen si

{\ Displaystyle \ hbar \ omega _ {\ rm {c}} <\ Gamma}

. (c) Los niveles se vuelven distintos cuando

{\ Displaystyle \ hbar \ omega _ {\ rm {c}}> \ Gamma}

.

Para obtener el número de niveles de Landau ocupados, se define el llamado factor de llenado ${\ Displaystyle \ nu}$ como la relación entre la densidad de estados en un 2DEG y la densidad de estados en los niveles de Landau.

{\ Displaystyle \ nu = {\ frac {n _ {\ rm {2D}}} {n_ {B}}} = {\ frac {hn _ {\ rm {2D}}} {eB}}}

En general el factor de llenado ${\ Displaystyle \ nu}$ no es un número entero. Resulta ser un número entero cuando hay un número exacto de niveles de Landau llenos. En cambio, se convierte en un número no entero cuando el nivel superior no está completamente ocupado. Desde ${\ Displaystyle n_ {B} \ propto B}$ , al aumentar el campo magnético, los niveles de Landau suben en energía y el número de estados en cada nivel crece, por lo que menos electrones ocupan el nivel superior hasta que se vacía. Si el campo magnético sigue aumentando, eventualmente, todos los electrones estarán en el nivel de Landau más bajo ( ${\ Displaystyle \ nu <1}$ ) y esto se llama límite cuántico magnético.

Ocupación de los niveles de Landau en un campo magnético que descuida la división del espín, mostrando cómo se mueve el nivel de Fermi para mantener una densidad constante de electrones. Los campos están en la proporción

{\ Displaystyle 2: 3: 4}

y dar

{\ Displaystyle \ nu = 4, {\ frac {8} {3}}}

y

{\ Displaystyle 2}

.

Resistividad longitudinal

Es posible relacionar el factor de llenado con la resistividad y, por tanto, con la conductividad del sistema. Cuándo ${\ Displaystyle \ nu}$ es un número entero, la energía de Fermi se encuentra entre los niveles de Landau donde no hay estados disponibles para los portadores, por lo que la conductividad se vuelve cero (se considera que el campo magnético es lo suficientemente grande como para que no haya superposición entre los niveles de Landau, de lo contrario habría ser pocos electrones y la conductividad sería aproximadamente ${\ Displaystyle 0}$ ). En consecuencia, la resistividad también se vuelve cero (en campos magnéticos muy altos está demostrado que la conductividad longitudinal y la resistividad son proporcionales). ^[dieciséis]

En cambio, cuando ${\ Displaystyle \ nu}$ es un medio entero, la energía de Fermi se encuentra en el pico de la distribución de densidad de algún nivel de Landau. Esto significa que la conductividad tendrá un máximo.

Esta distribución de mínimos y máximos corresponde a “oscilaciones cuánticas” denominadas oscilaciones de Shubnikov-de Haas que adquieren mayor relevancia a medida que aumenta el campo magnético. Obviamente, la altura de los picos es mayor a medida que aumenta el campo magnético ya que la densidad de estados aumenta con el campo, por lo que hay más portadores que contribuyen a la resistividad. Es interesante notar que si el campo magnético es muy pequeño, la resistividad longitudinal es una constante lo que significa que se alcanza el resultado clásico.

Resistividad longitudinal y transversal (Hall),

{\ Displaystyle \ rho _ {xx}}

y

{\ Displaystyle \ rho _ {xy}}

, de un gas de electrones bidimensional en función del campo magnético. El recuadro muestra

{\ Displaystyle 1 / \ rho _ {xx}}

dividido por la unidad cuántica de conductancia

{\ Displaystyle e ^ {2} / h}

en función del factor de llenado

{\ Displaystyle \ nu}

.

Resistividad transversal

De la relación clásica de la resistividad transversal ${\ Displaystyle \ rho _ {xy} = {\ frac {B} {en _ {\ rm {2D}}}}}$ y sustituyendo ${\ Displaystyle n _ {\ rm {2D}} = \ nu {\ frac {eB} {h}}}$ se descubre la cuantificación de la resistividad y conductividad transversal:

{\ Displaystyle \ rho _ {xy} = {\ frac {h} {\ nu e ^ {2}}} \ Rightarrow \ sigma = \ nu {\ frac {e ^ {2}} {h}}}

Se concluye entonces que la resistividad transversal es un múltiplo de la inversa del llamado cuanto de conductancia. ${\ Displaystyle e ^ {2} / h}$ . Sin embargo, en los experimentos se observa una meseta entre los niveles de Landau, lo que indica que de hecho hay presentes portadores de carga. Estos portadores se localizan, por ejemplo, en las impurezas del material donde quedan atrapados en órbitas por lo que no pueden contribuir a la conductividad. Es por eso que la resistividad permanece constante entre los niveles de Landau. Nuevamente, si el campo magnético disminuye, se obtiene el resultado clásico en el que la resistividad es proporcional al campo magnético.

Efecto Hall cuántico fotónico

El efecto Hall cuántico, además de observarse en sistemas electrónicos bidimensionales , se puede observar en fotones. Los fotones no poseen carga eléctrica inherente , pero mediante la manipulación de resonadores ópticos discretos y la fase de la mecánica cuántica , se crea un campo magnético artificial . ^[17] Este proceso se puede expresar a través de una metáfora de fotones que rebotan entre múltiples espejos. Al disparar la luz a través de múltiples espejos, los fotones se enrutan y ganan una fase adicional proporcional a su momento angular . Esto crea un efecto como si estuvieran en un campo magnético .

Matemáticas

Mariposa de Hofstadter

Los enteros que aparecen en el efecto Hall son ejemplos de números cuánticos topológicos . Se conocen en matemáticas como los primeros números de Chern y están estrechamente relacionados con la fase de Berry . Un modelo sorprendente de mucho interés en este contexto es el modelo de Azbel-Harper-Hofstadter cuyo diagrama de fase cuántica es la mariposa de Hofstadter que se muestra en la figura. El eje vertical es la fuerza del campo magnético y el eje horizontal es el potencial químico , que fija la densidad de electrones. Los colores representan las conductancias Hall enteras. Los colores cálidos representan números enteros positivos y los colores fríos representan números enteros negativos. Sin embargo, tenga en cuenta que la densidad de estados en estas regiones de conductancia Hall cuantificada es cero; por lo tanto, no pueden producir las mesetas observadas en los experimentos. El diagrama de fases es fractal y tiene estructura en todas las escalas. En la figura hay una auto-semejanza obvia . En presencia de desorden, que es la fuente de las mesetas que se ven en los experimentos, este diagrama es muy diferente y la estructura fractal en su mayoría desaparece.

Con respecto a los mecanismos físicos, las impurezas y / o estados particulares (por ejemplo, corrientes de borde) son importantes tanto para los efectos "enteros" como para los "fraccionarios". Además, la interacción de Coulomb también es esencial en el efecto Hall cuántico fraccional . La fuerte similitud observada entre los efectos Hall cuánticos enteros y fraccionarios se explica por la tendencia de los electrones a formar estados ligados con un número par de cuantos de flujo magnético, llamados fermiones compuestos .

La interpretación del átomo de Bohr de la constante de von Klitzing

El valor de la constante de von Klitzing ya puede obtenerse en el nivel de un solo átomo dentro del modelo de Bohr mientras se mira como un efecto Hall de un solo electrón. Mientras que durante el movimiento del ciclotrón en una órbita circular, la fuerza centrífuga se equilibra con la fuerza de Lorentz responsable del voltaje inducido transversal y el efecto Hall, se puede observar la diferencia de potencial de Coulomb en el átomo de Bohr como el voltaje Hall inducido de un solo átomo y el movimiento de electrones en un círculo una corriente de Hall. Definición de la corriente de Hall de un solo átomo como una tasa de carga de un solo electrón ${\ Displaystyle e}$ está haciendo revoluciones de Kepler con frecuencia angular ${\ Displaystyle \ omega}$

{\ Displaystyle I = {\ frac {\ omega e} {2 \ pi}},}

y el voltaje de Hall inducido como una diferencia entre el potencial de Coulomb del núcleo de hidrógeno en el punto orbital del electrón y en el infinito:

{\ Displaystyle U = V _ {\ text {C}} (\ infty) -V _ {\ text {C}} (r) = 0-V _ {\ text {C}} (r) = {\ frac {e} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r}}}

Se obtiene la cuantificación de la resistencia Hall de la órbita de Bohr definida en pasos de la constante de von Klitzing como

{\ Displaystyle R _ {\ text {Bohr}} (n) = {\ frac {U} {I}} = n {\ frac {h} {e ^ {2}}}}

que para el átomo de Bohr es lineal pero no inverso en el número entero n .

Análogos relativistas

Los ejemplos relativistas del efecto Hall cuántico entero y el efecto Hall de espín cuántico surgen en el contexto de la teoría del calibre reticular . ^[18]^[19]

Ver también

Transiciones de Quantum Hall
Efecto Hall cuántico fraccional
Efecto Hall anómalo cuántico
Autómatas celulares cuánticos
Fermiones compuestos
Conductancia cuántica
efecto Hall
Sonda de pasillo
Grafeno
Efecto Hall de giro cuántico
Potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente incrustados en un campo magnético

Referencias

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Otras lecturas

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