En física , la cuantificación (en inglés británico, quantisation ) es el proceso de transición de una comprensión clásica de los fenómenos físicos a una comprensión más nueva conocida como mecánica cuántica . Es un procedimiento para construir una teoría cuántica de campos a partir de una teoría de campos clásica . Esta es una generalización del procedimiento para construir mecánica cuántica a partir de la mecánica clásica . También se relaciona la cuantificación del campo , como en la "cuantificación del campo electromagnético ", refiriéndose a los fotones como " cuantos de campo"."(Por ejemplo, como los cuantos de luz ). Este procedimiento es básico a las teorías de la física de partículas , la física nuclear , física de materia condensada , y la óptica cuántica .
Métodos de cuantificación
La cuantificación convierte los campos clásicos en operadores que actúan sobre los estados cuánticos de la teoría de campos. El estado de menor energía se llama estado de vacío . La razón para cuantificar una teoría es deducir propiedades de materiales, objetos o partículas mediante el cálculo de amplitudes cuánticas , lo que puede resultar muy complicado. Tales cálculos tienen que lidiar con ciertas sutilezas llamadas renormalización , que, si se descuidan, a menudo pueden conducir a resultados sin sentido, como la aparición de infinitos en diversas amplitudes. La especificación completa de un procedimiento de cuantificación requiere métodos para realizar la renormalización.
El primer método que se desarrolló para la cuantificación de las teorías de campo fue la cuantificación canónica . Si bien esto es extremadamente fácil de implementar en teorías suficientemente simples, hay muchas situaciones en las que otros métodos de cuantificación producen procedimientos más eficientes para calcular amplitudes cuánticas. Sin embargo, el uso de la cuantificación canónica ha dejado su huella en el lenguaje y la interpretación de la teoría cuántica de campos.
Cuantización canónica
La cuantificación canónica de una teoría de campo es análoga a la construcción de la mecánica cuántica a partir de la mecánica clásica . El campo clásico se trata como una variable dinámica llamada coordenada canónica , y su derivada en el tiempo es el momento canónico . Uno introduce una relación de conmutación entre estos que es exactamente la misma que la relación de conmutación entre la posición de una partícula y el momento en la mecánica cuántica . Técnicamente, uno convierte el campo en un operador, a través de combinaciones de operadores de creación y aniquilación . El operador de campo actúa sobre los estados cuánticos de la teoría. El estado de menor energía se llama estado de vacío . El procedimiento también se denomina segunda cuantificación .
Este procedimiento se puede aplicar a la cuantificación de cualquier teoría de campo , ya sea de fermiones o bosones , y con cualquier simetría interna . Sin embargo, conduce a una imagen bastante simple del estado de vacío y no es fácil de usar en algunas teorías cuánticas de campo , como la cromodinámica cuántica, que se sabe que tiene un vacío complicado caracterizado por muchos condensados diferentes .
Esquemas de cuantificación
Incluso dentro del marco de la cuantificación canónica, existe una dificultad asociada a la cuantificación de observables arbitrarios en el espacio de fase clásico. Ésta es la ambigüedad del ordenamiento : clásicamente, las variables de posición y momento x y p se conmutan, pero sus contrapartes de la mecánica cuántica no. Se han propuesto varios esquemas de cuantificación para resolver esta ambigüedad, [1] de los cuales el más popular es el esquema de cuantificación de Weyl . Sin embargo, el teorema de Groenewold-van Hove dice que no existe un esquema de cuantificación perfecto. En concreto, si las cuantificaciones de x y p se considera que son los operadores de posición y el momento de costumbre, entonces no hay esquema de cuantificación puede reproducir perfectamente las relaciones entre los paréntesis de Poisson observables clásicos. [2] Véase el teorema de Groenewold para una versión de este resultado.
Cuantización canónica covariante
Hay una manera de realizar una cuantificación canónica sin tener que recurrir al enfoque no covariante de foliar el espacio-tiempo y elegir un hamiltoniano . Este método se basa en una acción clásica, pero es diferente del enfoque integral funcional.
El método no se aplica a todas las acciones posibles (por ejemplo, acciones con una estructura no causal o acciones con "flujos" de calibre ). Comienza con el álgebra clásica de todos los funcionales (suaves) sobre el espacio de configuración. Esta álgebra está coorientada por el ideal generado por las ecuaciones de Euler-Lagrange . Luego, este álgebra de cociente se convierte en un álgebra de Poisson mediante la introducción de un corchete de Poisson derivable de la acción, llamado corchete de Peierls . Este álgebra de Poisson es entonces-deformado de la misma forma que en la cuantificación canónica.
También hay una forma de cuantificar acciones con "flujos" de calibre . Implica el formalismo Batalin-Vilkovisky , una extensión del formalismo BRST .
Cuantificación de deformaciones
Cuantización geométrica
En física matemática, la cuantificación geométrica es un enfoque matemático para definir una teoría cuántica correspondiente a una teoría clásica determinada. Intenta realizar la cuantificación, para la que en general no existe una receta exacta, de tal manera que quedan manifiestas ciertas analogías entre la teoría clásica y la teoría cuántica. Por ejemplo, se debe incorporar la similitud entre la ecuación de Heisenberg en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica y la ecuación de Hamilton en la física clásica.
Uno de los primeros intentos de cuantificación natural fue la cuantificación de Weyl, propuesta por Hermann Weyl en 1927. Aquí, se intenta asociar un observable de mecánica cuántica (un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert) con una función de valor real en el espacio de fase clásico. La posición y el impulso en este espacio de fase se asignan a los generadores del grupo de Heisenberg, y el espacio de Hilbert aparece como una representación de grupo del grupo de Heisenberg. En 1946, HJ Groenewold [3] consideró el producto de un par de tales observables y preguntó cuál sería la función correspondiente en el espacio de fase clásico. Esto lo llevó a descubrir el producto estelar del espacio-fase de un par de funciones. De manera más general, esta técnica conduce a la cuantificación de la deformación, donde el producto ★ se toma como una deformación del álgebra de funciones en una variedad simpléctica o variedad de Poisson. Sin embargo, como esquema de cuantificación natural (un funtor), el mapa de Weyl no es satisfactorio. Por ejemplo, el mapa de Weyl del clásico momento angular al cuadrado no es solo el operador cuántico de momento angular al cuadrado, sino que además contiene un término constante 3ħ2 / 2. (Este término adicional es realmente significativo físicamente, ya que explica el momento angular que no desaparece de la órbita de Bohr en el estado fundamental en el átomo de hidrógeno. [4] [ aclaración necesaria ] Sin embargo, como un simple cambio de representación, el mapa de Weyl subyace a la fase alternativa formulación espacial de la mecánica cuántica convencional.
Bertram Kostant y Jean-Marie Souriau desarrollaron en la década de 1970 un enfoque más geométrico de la cuantificación, en el que el espacio de fase clásico puede ser una variedad simpléctica general . El método se desarrolla en dos etapas. [5] Primero, una vez construye un "espacio de Hilbert prequantum" que consta de funciones cuadradas integrables (o, más propiamente, secciones de un paquete de líneas) sobre el espacio de fase. Aquí se pueden construir operadores que satisfagan relaciones de conmutación correspondientes exactamente a las relaciones clásicas de Poisson-paréntesis. Por otro lado, este espacio prequantum de Hilbert es demasiado grande para ser físicamente significativo. Luego, se restringe a funciones (o secciones) que dependen de la mitad de las variables en el espacio de fase, lo que produce el espacio cuántico de Hilbert.
Cuantización de bucle
Consulte Gravedad cuántica de bucle .
Cuantización integral de ruta
Una teoría mecánica clásica viene dada por una acción, siendo las configuraciones permisibles las que son extremas con respecto a las variaciones funcionales de la acción. También se puede construir una descripción mecánico-cuántica del sistema clásico a partir de la acción del sistema por medio de la formulación integral de trayectoria .
Enfoque de la mecánica estadística cuántica
Ver principio de incertidumbre .
Enfoque variacional de Schwinger
Véase el principio de acción cuántica de Schwinger .
Ver también
- Primera cuantificación
- Integral de ruta de Feynman
- Cuantización de frente de luz
- Polarización de fotones
- Efecto Hall cuántico
- Número cuántico
Referencias
- Abraham, R. y Marsden (1985): Fundamentos de la mecánica , ed. Addison – Wesley, ISBN 0-8053-0102-X .
- G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashntly , métodos topológicos geométricos y algebraicos en mecánica cuántica (World Scientific, 2005) ISBN 981-256-129-3 .
- Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, 267 , Springer
- M. Peskin, D. Schroeder, Introducción a la teoría cuántica de campos (Westview Press, 1995) ISBN 0-201-50397-2
- Weinberg, Steven, La teoría cuántica de los campos (3 volúmenes)
- Ali, ST y Engliš, M. (2005). "Métodos de cuantificación: una guía para físicos y analistas". Reseñas en Física Matemática 17 (04), 391-490. arXiv : math-ph / 0405065
- Todorov, Ivan (2012). "La cuantificación es un misterio". preimpresión de arXiv arXiv: 1206.3116 (2012).
Notas
- ↑ Hall 2013 Capítulo 13
- ^ Teorema Hall 2013 13.13
- ^ Groenewold, HJ (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Physica . 12 (7): 405–460. Bibcode : 1946Phy .... 12..405G . doi : 10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4 . ISSN 0031-8914 .
- ^ Dahl, Jens Peder; Schleich, Wolfgang P. (2002). "Conceptos de energías cinéticas radiales y angulares". Physical Review A . 65 (2): 022109. arXiv : quant-ph / 0110134 . Código Bibliográfico : 2002PhRvA..65b2109D . doi : 10.1103 / PhysRevA.65.022109 . ISSN 1050-2947 . S2CID 39409789 .
- ^ Hall 2013 Capítulos 22 y 23