Puerta lógica cuántica

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Circuito básico en computación cuántica

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En la computación cuántica y específicamente en el modelo de computación del circuito cuántico , una puerta lógica cuántica (o simplemente una puerta cuántica ) es un circuito cuántico básico que opera en una pequeña cantidad de qubits . Son los componentes básicos de los circuitos cuánticos, como lo son las puertas lógicas clásicas para los circuitos digitales convencionales.

A diferencia de muchas puertas lógicas clásicas, las puertas lógicas cuánticas son reversibles . Sin embargo, es posible realizar computación clásica usando solo puertas reversibles. Por ejemplo, la puerta Toffoli reversible puede implementar todas las funciones booleanas, a menudo a costa de tener que usar bits auxiliares . La puerta de Toffoli tiene un equivalente cuántico directo, lo que muestra que los circuitos cuánticos pueden realizar todas las operaciones realizadas por los circuitos clásicos.

Las puertas cuánticas son operadores unitarios y se describen como matrices unitarias en relación con alguna base . Por lo general, usamos la base computacional , que a menos que la comparemos con algo, solo significa que para un sistema cuántico de nivel d (como un qubit o un registro cuántico ) hemos etiquetado los vectores de base ortogonal , o usamos notación binaria .${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle ,\cdots ,|d-1\rangle }$

Puertas lógicas cuánticas comunes por nombre (incluida la abreviatura), forma (s) de circuito y las matrices unitarias correspondientes.

Historia

La notación actual para puertas cuánticas fue desarrollada por Barenco et al., ^[1] basándose en la notación introducida por Feynman . ^[2]

Representación

Las puertas lógicas cuánticas están representadas por matrices unitarias . Una puerta que actúa sobre qubits está representada por una matriz unitaria. Los estados cuánticos sobre los que actúan las puertas son vectores de dimensiones complejas. Los vectores base son los posibles resultados si se miden , y un estado cuántico es una combinación lineal de estos resultados. Las puertas cuánticas más comunes operan en espacios de uno o dos qubits, al igual que las puertas lógicas clásicas comunes operan en uno o dos bits.${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n}}$

Los estados cuánticos se representan típicamente por "kets", de una notación matemática conocida como bra-ket .

La representación vectorial de un solo qubit es:

${\displaystyle |a\rangle =v_{0}|0\rangle +v_{1}|1\rangle \rightarrow {\begin{bmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{bmatrix}}}$,

Aquí, y son las amplitudes de probabilidad complejas del qubit. Estos valores determinan la probabilidad de medir un 0 o un 1, al medir el estado del qubit. Consulte la medida a continuación para obtener más detalles.${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle v_{1}}$

El valor cero está representado por la Ket , y el valor uno está representado por la Ket .${\displaystyle |0\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle |1\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$

Los sistemas de un solo qubit a veces se representan mediante su proyección en la esfera de Bloch .

El producto tensorial (o producto de kronecker ) se utiliza para combinar estados cuánticos. El estado combinado de dos qubits es el producto tensorial de los dos qubits. El producto tensorial se indica con el símbolo .${\displaystyle \otimes }$

La representación vectorial de dos qubits es:

${\displaystyle |ab\rangle =|a\rangle \otimes |b\rangle =v_{00}|00\rangle +v_{01}|01\rangle +v_{10}|10\rangle +v_{11}|11\rangle \rightarrow {\begin{bmatrix}v_{00}\\v_{01}\\v_{10}\\v_{11}\end{bmatrix}}}$,

La acción de la puerta en un estado cuántico específico se encuentra multiplicando el vector que representa el estado por la matriz que representa la puerta. El resultado es un nuevo estado cuántico :${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle U}$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

${\displaystyle U|\psi _{1}\rangle =|\psi _{2}\rangle }$.

Ejemplos notables

Puerta de identidad

La puerta de identidad, generalmente escrita como I , se define para un solo qubit como

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$,

donde I es independiente de la base y no modifica el estado cuántico. La puerta de identidad es más útil cuando se describe matemáticamente el resultado de varias operaciones de puerta o cuando se habla de circuitos de varios qubits.

Puertas de Pauli

Puerta X

Diagrama de circuito cuántico de una puerta NOT

La puerta Pauli X actúa sobre un solo qubit. Es el equivalente cuántico de la puerta NOT para ordenadores clásicos (con respecto a la base estándar , , que distingue a la z -dirección). Equivale a una rotación alrededor del eje x de la esfera de Bloch en radianes. Se asigna hacia y hacia . Está representado por la matriz de Pauli :${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$

${\displaystyle X=\sigma _{x}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$.

Puerta Y

El Pauli- Y puerta actúa sobre un único qubit. Equivale a una rotación alrededor del eje y de la esfera de Bloch en radianes. Se asigna hacia y hacia . Está representado por la matriz de Pauli :${\displaystyle \pi }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle i|1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle -i|0\rangle }$${\displaystyle \sigma _{y}}$

${\displaystyle Y=\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}}$.

Puerta Z

La puerta Pauli- Z actúa sobre un solo qubit. Equivale a una rotación alrededor del eje z de la esfera de Bloch en radianes. Por lo tanto, es un caso especial de una puerta de desplazamiento de fase (que se describe en una subsección siguiente) con . Deja el estado base sin cambios y se asigna a . Debido a esta naturaleza, a veces se le llama cambio de fase. Está representado por la matriz de Pauli :${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \phi =\pi }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle -|1\rangle }$${\displaystyle \sigma _{z}}$

${\displaystyle Z=\sigma _{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$.

Las matrices de Pauli son involutivas

Las matrices de Pauli son involutivas , lo que significa que el cuadrado de una matriz de Pauli es la matriz de identidad .

${\displaystyle I^{2}=X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=-iXYZ=I}$

Raíz cuadrada de la puerta NOT ( √ NOT )

Diagrama de circuito cuántico de una puerta de raíz cuadrada de NOT

La raíz cuadrada de puerta NOT (o Pauli- raíz cuadrada de X , ) actúa sobre un único qubit. Se asigna el estado de base a y a .${\displaystyle {\sqrt {X}}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle {\frac {(1+i)|0\rangle +(1-i)|1\rangle }{2}}}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle {\frac {(1-i)|0\rangle +(1+i)|1\rangle }{2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {X}}={\sqrt {\text{NOT}}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1+i&1-i\\1-i&1+i\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}e^{i\pi /4}&e^{-i\pi /4}\\e^{-i\pi /4}&e^{i\pi /4}\end{bmatrix}}}$.

${\displaystyle X=({\sqrt {\text{NOT}}})^{2}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$.

Puertas controladas (CX CY CZ)

Más información: Puerta NOT controlada

Representación del circuito de la puerta NOT controlada

Las puertas controladas actúan sobre 2 o más qubits, donde uno o más qubits actúan como control para alguna operación. ^[1] Por ejemplo, la puerta NOT controlada (o CNOT o CX) actúa en 2 qubits, y realiza la operación NOT en el segundo qubit solo cuando el primer qubit es , y de lo contrario lo deja sin cambios. Con respecto a la base , , , , que está representado por la matriz:${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=\mathrm {C} X={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}}$.

El CNOT (o controlada Pauli- X ) de puerta pueden ser descritos como la puerta que se asigna a .${\displaystyle |a,b\rangle }$${\displaystyle |a,a\oplus b\rangle }$

De manera más general, si U es una puerta que opera en qubits únicos con representación matricial

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{00}&u_{01}\\u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}}}$,

entonces la puerta U controlada es una puerta que opera en dos qubits de tal manera que el primer qubit sirve como control. Traza los estados base de la siguiente manera.

Representación del circuito de la puerta U controlada

${\displaystyle |00\rangle \mapsto |00\rangle }$

${\displaystyle |01\rangle \mapsto |01\rangle }$

${\displaystyle |10\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|0\rangle =|1\rangle \otimes (u_{00}|0\rangle +u_{10}|1\rangle )}$

${\displaystyle |11\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|1\rangle =|1\rangle \otimes (u_{01}|0\rangle +u_{11}|1\rangle )}$

La matriz que representa la U controlada es

${\displaystyle {\mbox{C}}U={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&u_{00}&u_{01}\\0&0&u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}}}$.

Puertas X, Y y Z controladas

puerta Y controlada

puerta Z controlada

Cuando U es una de las matrices de Pauli , σ _x , σ _y , o σ _z , a veces se utilizan los términos respectivos " X controlado ", " Y controlado " o " Z controlado ". ^[3] A veces esto se acorta a simplemente C X , C Y y C Z .

Puertas de cambio de fase

El cambio de fase es una familia de puertas de un solo qubit que mapean los estados base y . La probabilidad de medir a o no cambia después de aplicar esta puerta, sin embargo, modifica la fase del estado cuántico. Esto equivale a trazar un círculo horizontal (una línea de latitud) en la esfera de Bloch en radianes.${\displaystyle |0\rangle \mapsto |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle \mapsto e^{i\phi }|1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle P(\phi )={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\phi }\end{bmatrix}}}$

¿Dónde está el cambio de fase ? Algunos ejemplos comunes son la puerta T donde , la puerta de fase (escrita S , aunque a veces se usa S para las puertas SWAP) dónde y la puerta Pauli- Z dónde .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{4}}}$${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \phi =\pi }$

Las puertas de cambio de fase están relacionadas entre sí de la siguiente manera:

${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\pi }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}=P\left(\pi \right)}$

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{2}}\right)={\sqrt {Z}}}$

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}}$

Las puertas de cambio de fase arbitrarias de un solo qubit están disponibles de forma nativa para los procesadores cuánticos transmon mediante la sincronización de los pulsos de control de microondas. ^[4]${\displaystyle P(\phi )}$

Cambio de fase controlado

La puerta de cambio de fase controlada de 2 qubit (a veces llamada CPHASE) es:

${\displaystyle \mathrm {C} P(\phi )={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&e^{i\phi }\end{bmatrix}}}$

Con respecto a la base computacional, cambia la fase con solo si actúa sobre el estado .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle |a,b\rangle \mapsto {\begin{cases}|a,e^{i\phi }b\rangle &{\mbox{for }}a=b=1\\|a,b\rangle &{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Puertas de operador de rotación

Las puertas del operador de rotación y son las matrices de rotación analógicas en tres ejes cartesianos de SO (3) (los ejes en la proyección de la esfera de Bloch ):${\displaystyle R_{x}(\theta ),R_{y}(\theta )}$${\displaystyle R_{z}(\theta )}$

${\displaystyle R_{x}(\theta )=\exp(-iX\theta /2)={\begin{bmatrix}\cos(\theta /2)&-i\sin(\theta /2)\\-i\sin(\theta /2)&\cos(\theta /2)\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle R_{y}(\theta )=\exp(-iY\theta /2)={\begin{bmatrix}\cos(\theta /2)&-\sin(\theta /2)\\\sin(\theta /2)&\cos(\theta /2)\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle R_{z}(\theta )=\exp(-iZ\theta /2)={\begin{bmatrix}\exp(-i\theta /2)&0\\0&\exp(i\theta /2)\end{bmatrix}}}$.

Como las matrices de Pauli son el generador de rotaciones, estos operadores de rotación se pueden escribir como matrices exponenciales con matrices de Pauli en el argumento. Además, cualquier matriz unitaria (puerta de un solo qubit) se puede escribir como producto de tres puertas de rotación o menos. Tenga en cuenta que para sistemas de dos niveles, como qubits y espinores , estas rotaciones se definen entre -2π y 2π (una rotación de 360 ​​grados devuelve el mismo vector de estado con una fase diferente).${\displaystyle 2\times 2}$

Puerta de Hadamard

Más información: Transformada de Hadamard § Aplicaciones de computación cuántica

La puerta de Hadamard ( francés:  [adamaʁ] ) actúa sobre un solo qubit. Se asigna el estado base a y a , lo que significa que una medición tendrá probabilidades iguales para dar lugar a 1 o 0 (es decir, crea una superposición ). Representa una rotación de alrededor del eje en la esfera de Bloch . De manera equivalente, es la combinación de dos rotaciones, sobre la z eje x, entonces por sobre el y eje x: . Está representado por la matriz de Hadamard : ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle {\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle {\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle ({\hat {x}}+{\hat {z}})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle R_{y}(\pi /2)R_{z}(\pi )=iH}$

Representación del circuito de la puerta Hadamard

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}$.

Dado que , H es una matriz unitaria (como todas las demás puertas lógicas cuánticas) y también una matriz involutiva. Utilizando , tenemos más identidades y . Además, la puerta H controlada también se puede definir como se explica en la sección de CX. ${\displaystyle HH^{\dagger }=H^{\dagger }H=I}$${\displaystyle R_{y}(\pi /2)}$${\displaystyle R_{y}(\pi /2)Z=H}$${\displaystyle XR_{y}(\pi /2)=H}$

Puerta de intercambio

Representación del circuito de la puerta SWAP

La puerta de intercambio intercambia dos qubits. Con respecto a la base , , , , se representa por la matriz:${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |01\rangle }$${\displaystyle |10\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$.

Raíz cuadrada de la puerta de intercambio

Representación del circuito de la puerta √ SWAP

La puerta √ SWAP realiza la mitad de un intercambio de dos qubit. Es universal, de modo que cualquier puerta de muchos qubit se puede construir a partir de solo √ SWAP y puertas de un solo qubit. El √ SWAP puerta no es, sin embargo como máximo de enredo; se requiere más de una aplicación para producir un estado Bell a partir de los estados del producto. Con respecto a la base , , , , que está representado por la matriz:${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle {\sqrt {\text{SWAP}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}(1+i)&{\frac {1}{2}}(1-i)&0\\0&{\frac {1}{2}}(1-i)&{\frac {1}{2}}(1+i)&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$.

Puerta de Toffoli (CCNOT)

Artículo principal: puerta Toffoli

Representación del circuito de la puerta Toffoli

La puerta de Toffoli, que lleva el nombre de Tommaso Toffoli ; también llamada puerta CCNOT o puerta Deutsch ; es una puerta de 3 bits, que es universal para la computación clásica pero no para la computación cuántica. La puerta cuántica de Toffoli es la misma puerta, definida para 3 qubits. Si nos limitamos a aceptar solo qubits de entrada que son y , entonces si los dos primeros bits están en el estado , aplica un Pauli-X (o NOT) en el tercer bit, de lo contrario no hace nada. Es un ejemplo de puerta controlada. Dado que es el análogo cuántico de una puerta clásica, está completamente especificado por su tabla de verdad. La puerta Toffoli es universal cuando se combina con la puerta Hadamard de un solo qubit. ^[5]${\displaystyle D(\pi /2)}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

Mesa de la verdad	Forma de matriz
APORTE PRODUCCIÓN 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0&1&0\\\end{bmatrix}}}$

También se puede describir como la puerta con el mapeo de estados en la base computacional.${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto |a,b,c\oplus (a\land b)\rangle }$

Puerta Fredkin (CSWAP)

Artículo principal: puerta Fredkin

Representación del circuito de la puerta Fredkin

La puerta Fredkin (también CSWAP o puerta CS), que lleva el nombre de Edward Fredkin , es una puerta de 3 bits que realiza un intercambio controlado . Es universal para la computación clásica. Tiene la propiedad útil de que los números de 0 y 1 se conservan en todo momento, lo que en el modelo de bola de billar significa que se produce la misma cantidad de bolas como entrada.

Mesa de la verdad	Forma de matriz
APORTE PRODUCCIÓN C Yo 1 Yo 2 C O 1 O 2  0   0   0   0   0   0  0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

Ising puertas de acoplamiento

Ising XX

La puerta Ising (o puerta XX) es una puerta de 2 qubit que se implementa de forma nativa en algunas computadoras cuánticas de iones atrapados . ^{[6] [7]} Se define como

${\displaystyle XX_{\phi }=\cos(\phi )I\otimes I-i\sin(\phi )\sigma _{x}\otimes \sigma _{x}={\begin{bmatrix}\cos(\phi )&0&0&-i\sin(\phi )\\0&\cos(\phi )&-i\sin(\phi )&0\\0&-i\sin(\phi )&\cos(\phi )&0\\-i\sin(\phi )&0&0&\cos(\phi )\\\end{bmatrix}}}$,

Ising YY

${\displaystyle YY_{\phi }={\begin{bmatrix}\cos(\phi )&0&0&i\sin(\phi )\\0&\cos(\phi )&-i\sin(\phi )&0\\0&-i\sin(\phi )&\cos(\phi )&0\\i\sin(\phi )&0&0&\cos(\phi )\\\end{bmatrix}}}$,

Ising ZZ

${\displaystyle ZZ_{\phi }={\begin{bmatrix}e^{i\phi /2}&0&0&0\\0&e^{-i\phi /2}&0&0\\0&0&e^{-i\phi /2}&0\\0&0&0&e^{i\phi /2}\\\end{bmatrix}}}$, ^[8]

Puerta de Deutsch

La puerta Deutsch (o ), que lleva el nombre del físico David Deutsch, es una puerta de tres qubits. Se define como${\displaystyle D_{\theta }}$

${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto {\begin{cases}i\cos(\theta )|a,b,c\rangle +\sin(\theta )|a,b,1-c\rangle &{\mbox{for }}a=b=1\\|a,b,c\rangle &{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Desafortunadamente, una puerta Deutsch en funcionamiento se ha mantenido fuera de alcance debido a la falta de un protocolo. Sin embargo, se propuso un método para realizar una puerta Deutsch con interacción dipolo-dipolo en átomos neutros.

Puertas cuánticas universales

Tanto CNOT como son puertas universales de dos qubit y pueden transformarse entre sí.${\displaystyle {\sqrt {\mbox{SWAP}}}}$

De manera informal, un conjunto de puertas cuánticas universales es cualquier conjunto de puertas a las que se puede reducir cualquier operación posible en una computadora cuántica, es decir, cualquier otra operación unitaria puede expresarse como una secuencia finita de puertas del conjunto. Técnicamente, esto es imposible con algo menos que un incontable conjunto de puertas, ya que el número de posibles puertas cuánticas es incontable, mientras que el número de secuencias finitas de un conjunto finito es contable . Para resolver este problema, solo necesitamos que cualquier operación cuántica pueda aproximarse mediante una secuencia de puertas de este conjunto finito. Además, para los unitarios en un número constante de qubits, el teorema de Solovay-Kitaev garantiza que esto se puede hacer de manera eficiente.

Un conjunto de puertas universales común es el conjunto de puertas Clifford + T, que se compone de las puertas CNOT, H, S y T. (El conjunto de Clifford por sí solo no es universal y puede simularse de manera clásica de manera eficiente mediante el teorema de Gottesman-Knill ).

También se puede formular un conjunto de puertas cuánticas universales de una sola puerta utilizando la puerta Deutsch de tres qubit , que realiza la transformación ^[9]${\displaystyle D(\theta )}$

${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto {\begin{cases}i\cos(\theta )|a,b,c\rangle +\sin(\theta )|a,b,1-c\rangle &{\mbox{for }}a=b=1\\|a,b,c\rangle &{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Una puerta lógica universal para la informática clásica reversible, la puerta Toffoli , es reducible a la puerta Deutsch , , mostrando así que todas las operaciones de la lógica clásica reversibles se pueden realizar en un ordenador cuántico universal.${\displaystyle D({\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}})}$

También existe una única puerta de dos qubits suficiente para la universalidad, dado que se puede aplicar a cualquier par de qubits en un circuito de ancho . ^[10]${\displaystyle (k,k+1)\mod n}$${\displaystyle n}$

Otro conjunto de puertas cuánticas universales consiste en la puerta Ising y la puerta de cambio de fase. Estos son el conjunto de puertas disponibles de forma nativa en algunas computadoras cuánticas de iones atrapados. ^[7]

Composición del circuito

Puertas cableadas en serie

Dos puertas Y y X en serie. El orden en el que aparecen en el cable se invierte al multiplicarlos.

Suponga que tenemos dos puertas A y B, que ambas actúan sobre qubits. Cuando B se coloca después de A (un circuito en serie), entonces el efecto de las dos puertas se puede describir como una sola puerta C.${\displaystyle n}$

${\displaystyle C=B\cdot A}$

¿Dónde está la multiplicación de matrices ? La puerta resultante C tendrá las mismas dimensiones que A y B. El orden en el que aparecerían las puertas en un diagrama de circuito se invierte al multiplicarlas. ^{[11] [12]}${\displaystyle \cdot }$

Por ejemplo, poner la puerta Pauli X después de la puerta Pauli Y, las cuales actúan en un solo qubit, se puede describir como una sola puerta C combinada:

${\displaystyle C=X\cdot Y={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}}$

El símbolo de producto ( ) a menudo se omite.${\displaystyle \cdot }$

Exponentes de puertas cuánticas

Todos los exponentes reales de matrices unitarias son también matrices unitarias, y todas las puertas cuánticas son matrices unitarias.

Los exponentes enteros positivos son equivalentes a secuencias de puertas conectadas en serie (por ejemplo ), y los exponentes reales son una generalización del circuito en serie. Por ejemplo, y ambas son puertas cuánticas válidas.${\displaystyle X^{3}=X\cdot X\cdot X}$${\displaystyle X^{\pi }}$${\displaystyle {\sqrt {X}}=X^{1/2}}$

${\displaystyle U^{0}=I}$para cualquier matriz unitaria . La matriz de identidad ( ) actúa como un NOP y puede representarse como cable desnudo en circuitos cuánticos, o no mostrarse en absoluto. ${\displaystyle U}$${\displaystyle I}$

Todas las puertas son matrices unitarias, de modo que y , donde está la transposición conjugada . Esto significa que los exponentes negativos de puertas son inversos unitarios de sus homólogos exponenciadas positivamente: . Por ejemplo, algunos exponentes negativos de las puertas de cambio de fase son y .${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I}$${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}}$${\displaystyle \dagger }$${\displaystyle U^{-n}=(U^{n})^{\dagger }}$${\displaystyle T^{-1}=T^{\dagger }}$${\displaystyle T^{-2}=(T^{2})^{\dagger }=S^{\dagger }}$

Puertas paralelas

Dos puertas y en paralelo equivale a la puerta${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\otimes X}$

El producto tensorial (o producto de kronecker ) de dos puertas cuánticas es la puerta que es igual a las dos puertas en paralelo. ^{[13] [14]}

Si, como en la imagen, combinamos la puerta Pauli-Y con la puerta Pauli-X en paralelo, entonces esto se puede escribir como:

${\displaystyle C=Y\otimes X={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&-i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&-i&0\\0&i&0&0\\i&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Tanto la puerta Pauli-X como la Pauli-Y actúan en un solo qubit. La puerta resultante actúa sobre dos qubits.${\displaystyle C}$

La transformación de Hadamard

Más información: Transformada de Hadamard

La puerta es la puerta Hadamard ( ) aplicada en paralelo en 2 qubits. Puede escribirse como:${\displaystyle H_{2}=H\otimes H}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle H_{2}=H\otimes H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}}$

Esta "puerta Hadamard paralela de dos qubit", cuando se aplica, por ejemplo, al vector cero de dos qubit ( ),${\displaystyle |00\rangle }$ creará un estado cuántico que tiene la misma probabilidad de ser observado en cualquiera de sus cuatro posibles resultados; , , Y . Podemos escribir esta operación como:${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle H_{2}|00\rangle ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}|00\rangle +{\frac {1}{2}}|01\rangle +{\frac {1}{2}}|10\rangle +{\frac {1}{2}}|11\rangle ={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle }{2}}}$

Ejemplo: la transformada hadamard en un registro de 3 qubit . Qubit 0 es el menos significativo . ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Aquí la amplitud para cada estado medible es . La probabilidad de observar cualquier estado es el cuadrado del valor absoluto de la amplitud de los estados medibles, lo que en el ejemplo anterior significa que hay uno de cada cuatro en los que observamos cualquiera de los cuatro casos individuales. Consulte la medida para obtener más detalles.${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle H_{2}}$realiza la transformación de Hadamard en dos qubits. De manera similar, la puerta realiza una transformación de Hadamard en un registro de qubits.${\displaystyle \underbrace {H\otimes H\otimes \dots \otimes H} _{n{\text{ times}}}=\bigotimes _{1}^{n}H=H^{\otimes n}=H_{n}}$${\displaystyle n}$

Cuando se aplica a un registro de qubits todos inicializados , la transformada de Hadamard coloca el registro cuántico en una superposición con la misma probabilidad de ser medido en cualquiera de sus posibles estados:${\displaystyle n}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle \bigotimes _{0}^{n-1}H\bigotimes _{0}^{n-1}|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle +\dots +|2^{n}-1\rangle {\Big )}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}|i\rangle }$

Este estado es una superposición uniforme y se genera como primer paso en algunos algoritmos de búsqueda, por ejemplo en la amplificación de amplitud y estimación de fase .

La medición de este estado da como resultado un número aleatorio entre y . Cuán aleatorio es el número depende de la fidelidad de las puertas lógicas. Si no se mide, es un estado cuántico con la misma amplitud de probabilidad para cada uno de sus posibles estados.${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}}$

La transformada de Hadamard actúa sobre un registro con qubits como sigue:${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle n}$${\displaystyle |\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}|\psi _{i}\rangle }$

${\displaystyle \bigotimes _{0}^{n-1}H|\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\frac {|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\Big (}|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle {\Big )}=H|\psi _{0}\rangle \otimes H|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes H|\psi _{n-1}\rangle }$

Aplicación sobre estados enredados

Si dos o más qubits se ven como un solo estado cuántico, este estado combinado es igual al producto tensorial de los qubits constituyentes. Cualquier estado que pueda escribirse como un producto tensorial de los subsistemas constituyentes se denomina estados separables ( estados puros ). Por otro lado, un estado entrelazado es cualquier estado que no puede ser factorizado por tensor, o en otras palabras: un estado entrelazado no puede escribirse como un producto tensorial de sus estados qubits constituyentes. Se debe tener especial cuidado al aplicar puertas a qubits constituyentes que forman estados entrelazados.

Si tenemos un conjunto de N qubits que están entrelazados y deseamos aplicar una puerta cuántica en M <N qubits en el conjunto, tendremos que extender la puerta para tomar N qubits. Esto se puede hacer combinando la puerta con una matriz de identidad de modo que su producto tensorial se convierta en una puerta que actúe sobre N qubits. La matriz de identidad ( )${\displaystyle I}$ es una representación de la puerta que asigna cada estado a sí misma (es decir, no hace nada en absoluto). En un diagrama de circuito, la puerta o matriz de identidad a menudo aparecerá como un cable desnudo.

El ejemplo dado en el texto. La puerta de Hadamard solo actúa sobre 1 qubit, pero es un estado cuántico entrelazado que abarca 2 qubits. En nuestro ejemplo,${\displaystyle H}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

Por ejemplo, la puerta de Hadamard ( )${\displaystyle H}$ actúa sobre un solo qubit, pero si, por ejemplo, lo alimentamos con el primero de los dos qubits que constituyen el estado de Bell entrelazado , no podemos escribir esa operación fácilmente. Necesitamos extender la puerta de Hadamard con la puerta de identidad para que podamos actuar en estados cuánticos que abarcan dos qubits: ${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle K=H\otimes I={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}}$

La puerta ahora se puede aplicar a cualquier estado de dos qubits, entrelazado o no. La puerta dejará el segundo qubit intacto y aplicará la transformada de Hadamard al primer qubit. Si se aplica al estado de Bell en nuestro ejemplo, podemos escribirlo como:${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle K{\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\-1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle -|11\rangle }{2}}}$

La complejidad de tiempo para multiplicar dos matrices es al menos , ^[15] si se usa una máquina clásica. Debido a que el tamaño de una puerta que opera en qubits es , significa que el tiempo para simular un paso en un circuito cuántico (mediante la multiplicación de las puertas) que opera en estados genéricos entrelazados es . Por esta razón, se cree que es imposible simular grandes sistemas cuánticos entrelazados utilizando computadoras clásicas. Sin embargo, los subconjuntos de las puertas, como las puertas Clifford , se pueden simular de manera eficiente en computadoras clásicas.${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \Omega (n^{2}log(n))}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 2^{q}\times 2^{q}}$${\displaystyle \Omega ({2^{q}}^{2}log({2^{q}}))}$

Inversión unitaria de puertas

Ejemplo: el inverso unitario del producto Hadamard-CNOT. Las tres puertas , y son sus propias inversas unitarias.${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle CNOT}$

Debido a que todas las puertas lógicas cuánticas son reversibles , cualquier composición de múltiples puertas también es reversible. Todos los productos y productos tensoriales de matrices unitarias son también matrices unitarias. Esto significa que es posible construir un inverso de todos los algoritmos y funciones, siempre que contengan solo puertas.

La inicialización, la medición, la E / S y la decoherencia espontánea son efectos secundarios en las computadoras cuánticas. Sin embargo, las puertas son puramente funcionales y biyectivas .

Si una función es un producto de puertas, , el inverso unitaria de la función se puede construir:${\displaystyle F}$${\displaystyle m}$${\displaystyle F=A_{1}\cdot A_{2}\cdot ...\cdot A_{m}}$${\displaystyle F^{\dagger }}$

Porque tenemos, después de repetidas aplicaciones sobre sí mismo${\displaystyle (UV)^{\dagger }=V^{\dagger }U^{\dagger }}$

${\displaystyle F^{\dagger }=\left(\prod _{0<i\leq m}A_{i}\right)^{\dagger }=\prod _{0\leq i<m}A_{m-i}^{\dagger }=A_{m}^{\dagger }\cdot ...\cdot A_{2}^{\dagger }\cdot A_{1}^{\dagger }}$

De manera similar, si la función consta de dos puertas y en paralelo, entonces y .${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle G=A\otimes B}$${\displaystyle G^{\dagger }=(A\otimes B)^{\dagger }=A^{\dagger }\otimes B^{\dagger }}$

La daga ( ) denota el complejo conjugado de la transposición . También se le llama adjunto hermitiano .${\displaystyle \dagger }$

Las puertas que son sus propias inversas unitarias se denominan operadores hermitianos o autoadjuntos . Algunas puertas elementales como Hadamard (H) y Pauli (I, X, Y, Z) son operadores hermitianos, mientras que otras como el cambio de fase (S, T, CPHASE) y el Ising (XX, YY, ZZ) las puertas generalmente no lo son. Las puertas que no son hermitianas a veces se denominan operadores oblicuos-hermitianos o adjuntos .

Dado que es una matriz unitaria, y .${\displaystyle F}$${\displaystyle F^{\dagger }F=FF^{\dagger }=I}$${\displaystyle F^{\dagger }=F^{-1}}$

Por ejemplo, un algoritmo para la suma se puede utilizar para la resta, si se está "ejecutando al revés", como su inverso unitario. La transformada cuántica de Fourier inversa es la inversa unitaria. Las inversas unitarias también se pueden utilizar para el cálculo . Los lenguajes de programación de ordenadores cuánticos, tales como Microsoft 's Q # ^[16] y de Bernhard Ömer QCL , contienen inversión de función que los conceptos de programación.

Medida

Representación de circuito de medida. Las dos líneas del lado derecho representan un bit clásico y la única línea del lado izquierdo representa un qubit.

Más información: Medición en mecánica cuántica

La medición (a veces llamada observación ) es irreversible y, por lo tanto, no es una puerta cuántica, porque asigna el estado cuántico observado a un solo valor. La medición toma un estado cuántico y lo proyecta a uno de los vectores base , con una probabilidad igual al cuadrado de la profundidad del vector (la norma es el módulo al cuadrado) a lo largo de ese vector base. ^{[17] [18] [19] [20]} Esto se conoce como la regla de Born y aparece como un estocásticooperación no reversible ya que establece probabilísticamente el estado cuántico igual al vector base que representa el estado medido (el estado "colapsa" a un valor único definido). Por qué y cómo, o incluso si ^{[21] [22]} el estado cuántico colapsa durante la medición, se denomina problema de medición .

La probabilidad de medir un valor con amplitud de probabilidad es , donde es el módulo .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle 1\geq |\phi |^{2}\geq 0}$${\displaystyle |\cdot |}$

La medición de un único qubit, cuyo estado cuántico está representada por el vector , dará lugar a con probabilidad , y en con probabilidad .${\displaystyle a|0\rangle +b|1\rangle ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |a|^{2}}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |b|^{2}}$

Por ejemplo, medir un qubit con el estado cuántico producirá con la misma probabilidad o .${\displaystyle {\frac {|0\rangle -i|1\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

Para un solo qubit, tenemos una esfera unitaria con el estado cuántico tal que . El estado se puede reescribir como , o y . Nota: es la probabilidad de medir y es la probabilidad de medir .${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle a|0\rangle +b|1\rangle }$${\displaystyle |a|^{2}+|b|^{2}=1}$${\displaystyle |\cos \theta |^{2}+|\sin \theta |^{2}=1}$ ${\displaystyle |a|^{2}=\cos ^{2}\theta }$${\displaystyle |b|^{2}=\sin ^{2}\theta }$
${\displaystyle |a|^{2}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |b|^{2}}$${\displaystyle |1\rangle }$

Un estado cuántico que vanos n qubits pueden escribirse como un vector en complejos dimensiones: . Esto se debe a que el producto tensorial de n qubits es un vector en dimensiones. De esta manera, un registro de n qubits se puede medir en estados distintos, similar a cómo un registro de n bits clásicos puede contener estados distintos. A diferencia de los bits de las computadoras clásicas, los estados cuánticos pueden tener amplitudes de probabilidad distintas de cero en múltiples valores mensurables simultáneamente. A esto se le llama superposición .${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle \in \mathbb {C} ^{2^{n}}}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n}}$

La suma de todas las probabilidades de todos los resultados debe ser siempre igual a 1 . Otra forma de decir esto es que el teorema de Pitágoras generalizado a dice que todos los estados cuánticos con n qubits deben satisfacer , donde es la amplitud de probabilidad para el estado medible . Una interpretación geométrica de esto es que el posible valor-espacio de un estado cuántico con n qubits es la superficie de una esfera unitaria en y que las transformaciones unitarias (es decir, puertas lógicas cuántica) aplicado a ella son rotaciones en la esfera. La medición es entonces una proyección probabilística de los puntos en la superficie de este complejo.${\displaystyle \mathbb {C} ^{2^{n}}}$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle 1=\sum _{x=0}^{2^{n}-1}|a_{x}|^{2}}$${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2^{n}}}$esfera sobre los vectores base que abarcan el espacio (y etiqueta los resultados).

En muchos casos, el espacio se representa como un espacio de Hilbert en lugar de un espacio complejo de dimensiones específicas . El número de dimensiones (definidas por los vectores base y, por lo tanto, también los posibles resultados de la medición) a menudo está implícito en los operandos, por ejemplo, como el espacio de estado requerido para resolver un problema . En el algoritmo de Grover , Lov nombró a este conjunto de vectores de base genérica "la base de datos" .${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle 2^{n}}$

La selección de vectores base contra para medir un estado cuántico influirá en el resultado de la medición. ^[23] Ver entropía de Von Neumann para más detalles. En este artículo, siempre usamos la base computacional , lo que significa que hemos etiquetado los vectores base de un registro de n- qubit , o usamos la representación binaria .${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle ,|2\rangle ,\cdots ,|2^{n}-1\rangle }$ ${\displaystyle |0_{10}\rangle =|0\dots 00_{2}\rangle ,|1_{10}\rangle =|0\dots 01_{2}\rangle ,|2_{10}\rangle =|0\dots 10_{2}\rangle ,\cdots ,|2^{n}-1\rangle =|111\dots 1_{2}\rangle }$

En el dominio de la computación cuántica, generalmente se asume que los vectores base constituyen una base ortonormal .

Un ejemplo de uso de una base de medición alternativa está en el cifrado BB84 .

El efecto de la medición en estados entrelazados

La puerta Hadamard - CNOT , que cuando se le da la entrada produce un estado de campana .${\displaystyle |00\rangle }$

Si dos estados cuánticos (es decir , qubits o registros ) están entrelazados (lo que significa que su estado combinado no puede expresarse como un producto tensorial ), la medición de un registro afecta o revela el estado del otro registro colapsando parcial o totalmente su estado también. Este efecto se puede utilizar para cálculos y se utiliza en muchos algoritmos.

La combinación Hadamard-CNOT actúa en el estado cero de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {CNOT} (H\otimes I)|00\rangle ={\Bigg (}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\Big (}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\Big )}{\Bigg )}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

El estado de Bell en el texto es dónde y . Por lo tanto, puede describirse mediante el plano complejo atravesado por los vectores básicos y , como en la imagen. La esfera unitaria ( pulg ) que representa el posible espacio de valores del sistema de 2 qubits se cruza con el plano y se encuentra en la superficie de las esferas unitarias. Porque , existe igual probabilidad de medir este estado a o , y cero probabilidad de medir a o .${\displaystyle |\Psi \rangle =a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle }$${\displaystyle a=d={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle b=c=0}$ ${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle |a|^{2}=|d|^{2}=1/2}$${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$${\displaystyle |01\rangle }$${\displaystyle |10\rangle }$

Este estado resultante es el estado Bell . No se puede describir como un producto tensorial de dos qubits. No hay solucion para${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}w\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}xw\\xz\\yw\\yz\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

porque, por ejemplo, w debe ser distinto de cero y cero en el caso de xw e yw .

El estado cuántico abarca los dos qubits. A esto se le llama entrelazamiento . Medir uno de los dos qubits que componen este estado de Bell resultará en que el otro qubit lógicamente debe tener el mismo valor, ambos deben ser iguales: o se encontrará en el estado , o en el estado . Si medimos uno de los qubits para que sea, por ejemplo , entonces el otro qubit también debe ser , porque su estado combinado se convirtió en . La medición de uno de los qubits colapsa todo el estado cuántico, que abarca los dos qubits.${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

El estado GHZ es un estado cuántico entrelazado similar que abarca tres o más qubits.

Este tipo de asignación de valor se produce instantáneamente a cualquier distancia y, a partir de 2018, QUESS lo ha verificado experimentalmente para distancias de hasta 1200 kilómetros. ^{[24] [25] [26]} El hecho de que los fenómenos parezcan suceder instantáneamente en lugar del tiempo que tomaría recorrer la distancia que separa los qubits a la velocidad de la luz se llama paradoja EPR , y es una cuestión abierta en física. cómo resolver esto. Originalmente se resolvió renunciando al supuesto del realismo local , pero también han surgido otras interpretaciones . Para obtener más información, consulte los experimentos de prueba de Bell . El teorema de la no comunicacióndemuestra que este fenómeno no se puede utilizar para una comunicación más rápida que la luz de información clásica .

Medición en registros con qubits entrelazados por pares

El efecto de una transformada unitaria F en un registro A que está en una superposición de estados y entrelazado por pares con el registro B. Aquí, n es 3 (cada registro tiene 3 qubits).${\displaystyle 2^{n}}$

Tome un registro A con n qubits todo inicializado a , y se alimentan a través de una Hadamard puerta paralelo . El registro A entrará entonces en el estado que tiene la misma probabilidad de estar en cualquiera de sus posibles estados cuando se mida ; a . Tome un segundo registro B, también con n qubits inicializados y CNOT por pares sus qubits con los qubits en el registro A, de modo que para cada p los qubits y forman el estado .${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle \bigotimes _{1}^{n}H}$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}|k\rangle }$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle A_{p}}$${\displaystyle B_{p}}$${\displaystyle |A_{p}B_{p}\rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

Si ahora medimos los qubits en el registro A, entonces se encontrará que el registro B contiene el mismo valor que A. Si, en cambio, aplicamos una puerta lógica cuántica F en A y luego medimos, entonces , ¿ dónde está el inverso unitario de F. ?${\displaystyle |A\rangle =F|B\rangle \iff F^{\dagger }|A\rangle =|B\rangle }$${\displaystyle F^{\dagger }}$

Debido a cómo inversos unitarios de puertas actúan, . Por ejemplo, digamos , entonces .${\displaystyle F^{\dagger }|A\rangle =F^{-1}(|A\rangle )=|B\rangle }$${\displaystyle F(x)=x+3{\pmod {2^{n}}}}$${\displaystyle |B\rangle =|A-3{\pmod {2^{n}}}\rangle }$

La igualdad se mantendrá sin importar en qué orden se realice la medición (en los registros A o B), asumiendo que F se ha completado. La medición puede incluso ser entrelazada aleatoria y concurrentemente qubit por qubit, ya que la asignación de medidas de un qubit limitará el posible valor-espacio de los otros qubits entrelazados.

Aunque las igualdades se mantienen, las probabilidades de medir los posibles resultados pueden cambiar como resultado de la aplicación de F , como puede ser la intención en un algoritmo de búsqueda cuántica.

Este efecto de compartir el valor a través del entrelazamiento se utiliza en el algoritmo de Shor , la estimación de fase y en el conteo cuántico . El uso de la transformada de Fourier para amplificar las amplitudes de probabilidad de los estados de solución para algún problema es un método genérico conocido como " pesca de Fourier ".

Síntesis de funciones lógicas

Las funciones y rutinas que solo usan puertas pueden describirse como matrices, al igual que las puertas más pequeñas. La matriz que representa una función cuántica que actúa sobre qubits tiene el tamaño . Por ejemplo, una función que actúa sobre un "qubyte" (un registro de 8 qubits) se describiría como una matriz con elementos.${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$${\displaystyle 2^{8}\times 2^{8}=256\times 256}$

Las transformaciones unitarias que no están en el conjunto de puertas disponibles de forma nativa en la computadora cuántica (las puertas primitivas) pueden sintetizarse, o aproximarse, combinando las puertas primitivas disponibles en un circuito . Una forma de hacerlo es factorizar la matriz que codifica la transformación unitaria en un producto de productos tensoriales (es decir, combinaciones en serie y en paralelo) de las puertas primitivas disponibles. El grupo U (2 q ) es el grupo de simetría de las puertas que actúan sobre qubits. ^{[1] La} factorización es entonces el problema de encontrar un camino en U (2 ^q ) a partir del conjunto generador de puertas primitivas. La${\displaystyle q}$El teorema de Solovay-Kitaev muestra que dado un conjunto suficiente de puertas primitivas, existe una aproximación eficiente para cualquier puerta. Para el caso general con un gran número de qubits, este enfoque directo de la síntesis de circuitos es intratable . ^{[27] [28]}

Debido a la naturaleza unitaria de las puertas , todas las funciones deben ser reversibles y siempre ser mapeos biyectivos de entrada a salida. Siempre debe existir una función tal que . Las funciones que no son invertibles se pueden convertir en invertibles agregando ancilla qubits a la entrada o la salida, o ambas. Una vez que la función se ha ejecutado hasta su finalización, los qubits de ancilla pueden quedar sin calcular o sin tocar. La medición o el colapso del estado cuántico de un qubit ancilla (por ejemplo, reinicializando su valor o por su decoherencia espontánea ) que no se han calculado puede dar lugar a errores, ^{[29] [30]}${\displaystyle F^{-1}}$${\displaystyle F^{-1}(F(|\psi \rangle ))=|\psi \rangle }$ ya que su estado puede estar entrelazado con los qubits que todavía se utilizan en los cálculos.

Operaciones Lógicamente irreversibles, por ejemplo suma de módulo de dos -qubit registra a y b, , se pueden hacer lógicamente reversible añadiendo información a la salida, de modo que la entrada se puede calcular a partir de la salida (es decir, existe una función ). En nuestro ejemplo, esto se puede hacer mediante la transmisión de uno de los registros de entrada a la salida: . La salida se puede utilizar para calcular la entrada (es decir, dada la salida y , podemos encontrar fácilmente la entrada; se da y ) y la función se convierte en biyectiva.${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F(a,b)=a+b{\pmod {2^{n}}}}$${\displaystyle F^{-1}}$${\displaystyle F(|a\rangle \otimes |b\rangle )=|a+b{\pmod {2^{n}}}\rangle \otimes |a\rangle }$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle (a+b)-a=b}$

Todas las expresiones algebraicas booleanas se pueden codificar como transformadas unitarias (puertas de lógica cuántica), por ejemplo, utilizando combinaciones de las puertas Pauli-X , CNOT y Toffoli . Estas puertas están funcionalmente completas en el dominio de la lógica booleana.

Hay muchas transformaciones unitarias disponibles en las bibliotecas de Q # , QCL , Qiskit y otros lenguajes de programación cuántica . También aparece en la literatura. ^{[31] [32]}

Por ejemplo, donde es el número de qubits que constituye , se implementa de la siguiente manera en QCL: ^{[33] [34]}${\displaystyle inc(|x\rangle )=|x+1{\pmod {2^{x_{length}}}}\rangle }$${\displaystyle x_{length}}$${\displaystyle x}$

El circuito generado, cuando . Los símbolos , y denotan xor , y y no respectivamente, y provienen de la representación booleana de Pauli-X con cero o más qubits de control cuando se aplican a estados que están en la base computacional.${\displaystyle x_{length}=4}$
${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \land }$${\displaystyle \neg }$

cond  qufunct  inc ( qureg  x )  {  // registro de incremento  int  i ;  para  i  =  # x -1  a  0  paso  -1  {  CNot ( x [ i ],  x [ 0 :: i ]);  // aplicar no controlado desde  }  // MSB a LSB }

En QCL, la disminución se realiza "deshaciendo" el incremento. El operador de deshacer !se usa para ejecutar el inverso unitario de la función. !inc(x)es el inverso de inc(x)y en su lugar realiza la operación .${\displaystyle inc^{\dagger }|x\rangle =inc^{-1}(|x\rangle )=|x-1{\pmod {2^{x_{length}}}}\rangle }$

Aquí, una computadora clásica genera la composición de la puerta para la computadora cuántica. La computadora cuántica actúa como un coprocesador que recibe instrucciones de la computadora clásica sobre qué puertas primitivas aplicar a qué qubits. ^{[35] La} medición de registros cuánticos da como resultado valores binarios que la computadora clásica puede usar en sus cálculos. Los algoritmos cuánticos a menudo contienen tanto una parte clásica como una cuántica. La E / S no medida (enviar qubits a computadoras remotas sin colapsar sus estados cuánticos) se puede utilizar para crear redes de computadoras cuánticas . El intercambio de entrelazamientos se puede utilizar para realizar algoritmos distribuidoscon computadoras cuánticas que no están conectadas directamente. Ejemplos de algoritmos distribuidos que solo requieren el uso de un puñado de puertas lógicas cuánticas son la codificación superdensa , el acuerdo bizantino cuántico y el protocolo de intercambio de claves de cifrado BB84 .

Ver también

• Computación cuántica adiabática
• Autómata celular y autómata celular cuántico
• Computación clásica y computación cuántica
• Puerta lógica clásica
• Computación cuántica basada en la nube
• Teoría de la complejidad computacional y BQP
• Definición contrafáctica y cálculo contrafáctico
• Criterios de DiVincenzo y volumen cuántico
• Principio de Landauer y cálculo reversible , decoherencia
• Destilación en estado mágico
• Teoría de la información , información cuántica y entropía de Von Neumann
• Efecto Pauli y Sincronicidad
• Matrices de Pauli
• Algoritmos cuánticos
• Circuito cuántico
• Corrección de errores cuánticos
• Autómatas finitos cuánticos
• Memoria cuántica
• Red cuántica y canal cuántico
• Estado cuántico
• U (2 q ) y SU (2 q ) donde es el número de qubits sobre los que actúan las puertas${\displaystyle q}$
• Transformaciones unitarias en mecánica cuántica
• Efecto zeno

Referencias

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