En álgebra lineal , una matriz cuadrada compleja U es unitaria si su transpuesta conjugada U * es también su inversa , es decir, si
donde yo es la matriz de identidad .
En física, especialmente en mecánica cuántica, el adjunto hermitiano de una matriz se denota con una daga (†) y la ecuación anterior se convierte en
El análogo real de una matriz unitaria es una matriz ortogonal . Las matrices unitarias tienen una importancia significativa en la mecánica cuántica porque conservan las normas y, por lo tanto, las amplitudes de probabilidad .
Propiedades
Para cualquier matriz unitaria U de tamaño finito, se cumple lo siguiente:
- Dados dos vectores complejos x y y , multiplicación por U conserva su producto interno ; que es, ⟨ U x , U y ⟩ = ⟨ x , y ⟩ .
- U es normal ().
- U es diagonalizable ; es decir, U es unitariamente similar a una matriz diagonal, como consecuencia del teorema espectral . Por tanto, U tiene una descomposición de la forma
- donde V es unitario y D es diagonal y unitario.
- .
- Sus espacios propios son ortogonales.
- U se puede escribir como U = e iH , donde e indica la matriz exponencial , i es la unidad imaginaria y H es una matriz hermitiana .
Para cualquier número entero no negativo n , el conjunto de todas las matrices unitarias n × n con multiplicación de matrices forma un grupo , llamado grupo unitario U ( n ).
Cualquier matriz cuadrada con norma euclidiana unitaria es el promedio de dos matrices unitarias. [1]
Condiciones equivalentes
Si U es una matriz compleja cuadrada, entonces las siguientes condiciones son equivalentes: [2]
- es unitario.
- es unitario.
- es invertible con .
- Las columnas de forman una base ortonormal decon respecto al producto interior habitual. En otras palabras,.
- Las filas de forman una base ortonormal de con respecto al producto interior habitual. En otras palabras,.
- es una isometría con respecto a la norma habitual. Es decir, para todos , dónde .
- es una matriz normal (de manera equivalente, hay una base ortonormal formada por vectores propios de) con valores propios que se encuentran en el círculo unitario .
Construcciones elementales
Matriz unitaria 2 × 2
La expresión general de una matriz unitaria de 2 × 2 es
que depende de 4 parámetros reales (la fase de una , la fase de b , la magnitud relativa entre una y b , y el ángulo phi ). El determinante de tal matriz es
El subgrupo de esos elementos con se llama el grupo unitario especial SU (2).
La matriz U también se puede escribir en esta forma alternativa:
que, al introducir φ 1 = ψ + Δ y φ 2 = ψ - Δ , toma la siguiente factorización:
Esta expresión pone de manifiesto la relación entre 2 × 2 matrices unitarias y 2 x 2 matrices ortogonales de ángulo θ .
Otra factorización es [3]
Son posibles muchas otras factorizaciones de una matriz unitaria en matrices básicas. [4] [5] [6]
Ver también
Referencias
- ^ Li, Chi-Kwong; Poon, Edward (2002). "Descomposición aditiva de matrices reales". Álgebra lineal y multilineal . 50 (4): 321–326. doi : 10.1080 / 03081080290025507 .
- ^ Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (2013). Análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge . doi : 10.1017 / 9781139020411 . ISBN 9781139020411.
- ^ Führ, Hartmut; Rzeszotnik, Ziemowit (2018). "Una nota sobre la factorización de matrices unitarias". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 547 : 32–44. doi : 10.1016 / j.laa.2018.02.017 . ISSN 0024-3795 .
- ^ Williams, Colin P. (2011), Williams, Colin P. (ed.), "Quantum Gates" , Exploraciones en Computación Cuántica , Textos en Ciencias de la Computación, Londres: Springer, p. 82, doi : 10.1007 / 978-1-84628-887-6_2 , ISBN 978-1-84628-887-6, consultado el 14 de mayo de 2021
- ^ Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac (2010). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge: Cambridge University Press . pag. 20. ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC 43641333 .
- ^ Barenco, Adriano; Bennett, Charles H .; Cleve, Richard; DiVincenzo, David P .; Margolus, normando; Shor, Peter; Sleator, Tycho; Smolin, John A .; Weinfurter, Harald (1 de noviembre de 1995). "Puertas elementales para la computación cuántica". Physical Review A . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 52 (5): 3457–3467. arXiv : quant-ph / 9503016 . doi : 10.1103 / physreva.52.3457 . ISSN 1050-2947 ., página 8
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Matriz unitaria" . MathWorld . Todd Rowland.
- Ivanova, OA (2001) [1994], "Matriz unitaria" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- "Demuestre que los valores propios de una matriz unitaria tienen módulo 1" . Stack Exchange . 28 de marzo de 2016.