![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Circuito de estimación de fase cuántica
Configuración
La entrada consta de dos registros (a saber, dos partes): el superior
qubits comprenden el primer registro , y el inferior
los qubits son el segundo registro .
Crear superposición
El estado inicial del sistema es:
![{\displaystyle |0\rangle ^{\otimes n}|\psi \rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Después de aplicar la operación de puerta Hadamard de n bits
en el primer registro, el estado se convierte en:
.
Aplicar operaciones unitarias controladas
Dejar
ser un operador unitario con autovector
tal que
por lo tanto
.
es una puerta en U controlada que aplica el operador unitario
en el segundo registro solo si su bit de control correspondiente (del primer registro) es
.
Suponiendo, en aras de la claridad, que las puertas controladas se aplican secuencialmente, después de aplicar
hacia
qubit del primer registro y el segundo registro, el estado se convierte en
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {1}{2}}}}\underbrace {\left(|0\rangle |\psi \rangle +|1\rangle e^{2\pi i2^{0}\theta }|\psi \rangle \right)} _{n^{th}\ qubit\ and\ second\ register}\otimes {\frac {1}{2^{\frac {n-1}{2}}}}\underbrace {\left(|0\rangle +|1\rangle \right)^{\otimes ^{n-1}}} _{qubits\ 1^{st}\ to\ n-1^{th}}={\frac {1}{2^{\frac {1}{2}}}}\left(|0\rangle |\psi \rangle +e^{2\pi i2^{0}\theta }|1\rangle |\psi \rangle \right)\otimes {\frac {1}{2^{\frac {n-1}{2}}}}\left(|0\rangle +|1\rangle \right)^{\otimes ^{n-1}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2^{\frac {1}{2}}}}\left(|0\rangle +e^{2\pi i2^{0}\theta }|1\rangle \right)|\psi \rangle \otimes {\frac {1}{2^{\frac {n-1}{2}}}}\left(|0\rangle +|1\rangle \right)^{\otimes ^{n-1}}={\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}}}\underbrace {\left(|0\rangle +e^{2\pi i2^{0}\theta }|1\rangle \right)} _{n^{th}\ qubit}\otimes \left(|0\rangle +|1\rangle \right)^{\otimes ^{n-1}}|\psi \rangle ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde usamos:
![{\displaystyle |0\rangle |\psi \rangle +|1\rangle \otimes e^{2\pi i2^{j}\theta }|\psi \rangle =(|0\rangle +e^{2\pi i2^{j}\theta }|1\rangle )|\psi \rangle ,\ \forall j.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Después de aplicar todo el resto
operaciones controladas
con
como se ve en la figura, el estado del primer registro se puede describir como
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}}}\underbrace {\left(|0\rangle +e^{2\pi i2^{n-1}\theta }|1\rangle \right)} _{1^{st}\ qubit}\otimes \cdots \otimes \underbrace {\left(|0\rangle +e^{2\pi i2^{1}\theta }|1\rangle \right)} _{n-1^{th}\ qubit}\otimes \underbrace {\left(|0\rangle +e^{2\pi i2^{0}\theta }|1\rangle \right)} _{n^{th}\ qubit}={\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{2\pi i\theta k}|k\rangle ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
denota la representación binaria de
, es decir, es el
base computacional, y el estado del segundo registro se deja físicamente sin cambios en
.
Aplicar la transformada cuántica inversa de Fourier
Aplicar la transformada cuántica de Fourier inversa en
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{2\pi i\theta k}|k\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
rendimientos
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{2\pi i\theta k}{\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}}}\sum _{x=0}^{2^{n}-1}e^{\frac {-2\pi ikx}{2^{n}}}|x\rangle ={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{x=0}^{2^{n}-1}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{2\pi i\theta k}e^{\frac {-2\pi ikx}{2^{n}}}|x\rangle ={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{x=0}^{2^{n}-1}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{-{\frac {2\pi ik}{2^{n}}}\left(x-2^{n}\theta \right)}|x\rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El estado de ambos registros juntos es
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}\sum _{x=0}^{2^{n}-1}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{-{\frac {2\pi ik}{2^{n}}}\left(x-2^{n}\theta \right)}|x\rangle \otimes |\psi \rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Representación de aproximación de fase
Podemos aproximar el valor de
redondeando
al entero más cercano. Esto significa que
dónde
es el entero más cercano a
y la diferencia
satisface
.
Ahora podemos escribir el estado del primer y segundo registro de la siguiente manera:
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}\sum _{x=0}^{2^{n}-1}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{-{\frac {2\pi ik}{2^{n}}}\left(x-a\right)}e^{2\pi i\delta k}|x\rangle \otimes |\psi \rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Medición
Realizar una medición en la base computacional en el primer registro produce el resultado
con probabilidad
![{\displaystyle \Pr(a)=\left|\left\langle a\underbrace {\left|{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{x=0}^{2^{n}-1}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{{\frac {-2\pi ik}{2^{n}}}(x-a)}e^{2\pi i\delta k}\right|x} _{\text{State of the first register}}\right\rangle \right|^{2}={\frac {1}{2^{2n}}}\left|\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{2\pi i\delta k}\right|^{2}={\begin{cases}1&\delta =0\\&\\{\frac {1}{2^{2n}}}\left|{\frac {1-{e^{2\pi i2^{n}\delta }}}{1-{e^{2\pi i\delta }}}}\right|^{2}&\delta \neq 0\end{cases}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para
la aproximación es precisa, por lo tanto
y
En este caso, siempre medimos el valor exacto de la fase. [3] : 157 [4] : 347 El estado del sistema después de la medición es
. [2] : 223
Para
desde
el algoritmo produce el resultado correcto con probabilidad
. Demostramos esto de la siguiente manera: [3] : 157 [4] : 348
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(a)&={\frac {1}{2^{2n}}}\left|{\frac {1-{e^{2\pi i2^{n}\delta }}}{1-{e^{2\pi i\delta }}}}\right|^{2}&&{\text{for }}\delta \neq 0\\[6pt]&={\frac {1}{2^{2n}}}\left|{\frac {2\sin \left(\pi 2^{n}\delta \right)}{2\sin(\pi \delta )}}\right|^{2}&&\left|1-e^{2ix}\right|^{2}=4\left|\sin(x)\right|^{2}\\[6pt]&={\frac {1}{2^{2n}}}{\frac {\left|\sin \left(\pi 2^{n}\delta \right)\right|^{2}}{|\sin(\pi \delta )|^{2}}}\\[6pt]&\geqslant {\frac {1}{2^{2n}}}{\frac {\left|\sin \left(\pi 2^{n}\delta \right)\right|^{2}}{|\pi \delta |^{2}}}&&|\sin(\pi \delta )|\leqslant |\pi \delta |{\text{ for }}|\delta |\leqslant {\frac {1}{2^{n+1}}}\\[6pt]&\geqslant {\frac {1}{2^{2n}}}{\frac {|2\cdot 2^{n}\delta |^{2}}{|\pi \delta |^{2}}}&&|2\cdot 2^{n}\delta |\leqslant |\sin(\pi 2^{n}\delta )|{\text{ for }}|\delta |\leqslant {\frac {1}{2^{n+1}}}\\[6pt]&\geqslant {\frac {4}{\pi ^{2}}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Este resultado muestra que mediremos la mejor estimación de n bits de
con alta probabilidad. Al aumentar el número de qubits en
e ignorando esos últimos qubits podemos aumentar la probabilidad de
. [4]