Curva plana cuartica
Una curva plana cuártica es una curva algebraica plana de cuarto grado . Puede definirse mediante una ecuación cuártica bivariada:
con al menos uno de A, B, C, D, E distinto de cero. Esta ecuación tiene 15 constantes. Sin embargo, se puede multiplicar por cualquier constante distinta de cero sin cambiar la curva; así, mediante la elección de una constante de multiplicación apropiada, cualquiera de los coeficientes se puede establecer en 1, dejando solo 14 constantes. Por tanto, el espacio de las curvas cuarticas se puede identificar con el espacio proyectivo real . También se sigue, del teorema de Cramer sobre curvas algebraicas , que hay exactamente una curva cuártica que pasa a través de un conjunto de 14 puntos distintos en posición general , ya que una cuártica tiene 14 grados de libertad .
También se pueden considerar curvas cuárticas sobre otros campos (o incluso anillos ), por ejemplo, los números complejos . De esta manera, se obtiene superficies de Riemann , que son objetos de una dimensión más de C , pero son de dos dimensiones sobre R . Un ejemplo es el cuartico de Klein . Además, se pueden observar curvas en el plano proyectivo , dadas por polinomios homogéneos.
Varias combinaciones de coeficientes en la ecuación anterior dan lugar a varias familias importantes de curvas que se enumeran a continuación.
La curva de frijol tiene género cero. Tiene una singularidad en el origen, un punto triple ordinario.[2] [3]
donde a determina el tamaño de la curva. El bicúspide tiene solo las dos cúspides como singularidades y, por lo tanto, es una curva del género uno. [4]
