En matemáticas , el teorema de Cramer sobre curvas algebraicas da el número necesario y suficiente de puntos en el plano real que caen en una curva algebraica para determinar de forma única la curva en casos no degenerados. Este numero es
donde n es el grado de la curva. El teorema se debe a Gabriel Cramer , quien lo publicó en 1750. [1]
Por ejemplo, una línea (de grado 1) está determinada por 2 puntos distintos en ella: una y solo una línea pasa por esos dos puntos. Asimismo, una cónica no degenerada ( polinomio de la ecuación en x y y con la suma de sus potencias en cualquier término no superior a 2, por lo tanto, con un grado 2) se determina de forma única por 5 puntos en posición general (sin tres de los cuales están en una recta línea).
La intuición del caso cónico es la siguiente: supongamos que los puntos dados caen, específicamente, en una elipse . Entonces, cinco piezas de información son necesarias y suficientes para identificar la elipse: la ubicación horizontal del centro de la elipse, la ubicación vertical del centro, el eje mayor (la longitud del acorde más largo ), el eje menor (la longitud del más corto). acorde a través del centro, perpendicular al eje mayor), y la orientación de rotación de la elipse (la medida en que el eje mayor se aparta de la horizontal). Cinco puntos en posición general son suficientes para proporcionar estas cinco piezas de información, mientras que cuatro puntos no.
Derivación de la fórmula
El número de términos distintos (incluidos los que tienen un coeficiente cero) en una ecuación de n -ésimo grado en dos variables es ( n + 1) ( n + 2) / 2. Esto se debe a que los términos de n -ésimo grado sonnumerando n + 1 en total; los ( n - 1) términos de grado sonnumerando n en total; y así sucesivamente durante los períodos de primer grado y numerando 2 en total, y el término único de cero grados (la constante). La suma de estos es ( n + 1) + n + ( n - 1) + ... + 2 + 1 = ( n + 1) ( n + 2) / 2 términos, cada uno con su propio coeficiente . Sin embargo, uno de estos coeficientes es redundante para determinar la curva, porque siempre podemos dividir la ecuación polinomial por cualquiera de los coeficientes, dando una ecuación equivalente con un coeficiente fijo en 1, y por lo tanto [( n + 1) ( n + 2) / 2] - 1 = n ( n + 3) / 2 coeficientes restantes.
Por ejemplo, una ecuación de cuarto grado tiene la forma general
con 4 (4 + 3) / 2 = 14 coeficientes.
La determinación de una curva algebraica a través de un conjunto de puntos consiste en determinar valores para estos coeficientes en la ecuación algebraica de manera que cada uno de los puntos satisfaga la ecuación. Dados n ( n + 3) / 2 puntos ( x i , y i ), cada uno de estos puntos se puede usar para crear una ecuación separada sustituyéndola en la ecuación polinomial general de grado n , dando n ( n + 3) / 2 ecuaciones lineales en los n ( n + 3) / 2 coeficientes desconocidos. Si este sistema no es degenerado en el sentido de que tiene un determinante distinto de cero , los coeficientes desconocidos se determinan de forma única y, por lo tanto, la ecuación polinómica y su curva se determinan de forma única. Más de este número de puntos sería redundante y menos sería insuficiente para resolver el sistema de ecuaciones de forma única para los coeficientes.
Casos degenerados
Cramer proporcionó un ejemplo de un caso degenerado, en el que n ( n + 3) / 2 puntos en la curva no son suficientes para determinar la curva de forma única, como parte de la paradoja de Cramer . Sea el grado n = 3, y sean nueve puntos todas las combinaciones de x = –1, 0, 1 e y = –1, 0, 1. Más de un cúbico contiene todos estos puntos, es decir, todos los cúbicos de la ecuaciónPor lo tanto, estos puntos no determinan un cúbico único, aunque hay n ( n + 3) / 2 = 9 de ellos. De manera más general, hay infinitos cúbicos que pasan por los nueve puntos de intersección de dos cúbicos ( el teorema de Bézout implica que dos cúbicos tienen, en general, nueve puntos de intersección)
Del mismo modo, para el caso cónico de n = 2, si tres de los cinco puntos dados caen todos en la misma línea recta, es posible que no determinen la curva de forma única.
Casos restringidos
Si se requiere que la curva esté en una subcategoría particular de ecuaciones polinomiales de n -ésimo grado, entonces pueden ser necesarios y suficientes menos de n ( n + 3) / 2 puntos para determinar una curva única. Por ejemplo, el círculo genérico viene dado por la ecuacióndonde el centro está ubicado en ( a , b ) y el radio es r . De manera equivalente, al expandir los términos al cuadrado, la ecuación genérica es dónde Aquí se han impuesto dos restricciones en comparación con el caso cónico general de n = 2: el coeficiente del término en xy está restringido a igual a 0, y el coeficiente de y 2 está restringido a ser igual al coeficiente de x 2 . Así, en lugar de ser necesarios cinco puntos, solo se necesitan 5 - 2 = 3, coincidiendo con los 3 parámetros a , b , k (equivalentemente a , b , r ) que es necesario identificar.
Ver también
Referencias
- ^ * Introducción a l'analyse des lignes courbes algébriques en Google Books . Ginebra: Frères Cramer & Cl. Philibert, 1750.