En geometría hiperbólica , el cuartico de Klein , llamado así por Felix Klein , es una superficie compacta de Riemann del género 3 con el grupo de automorfismos de orden más alto posible para este género, es decir , automorfismos de orden 168 que preservan la orientación y 336 automorfismos si la orientación puede revertirse. Como tal, el cuartico de Klein es la superficie de Hurwitz del género más bajo posible; véase el teorema de los automorfismos de Hurwitz . Su grupo de automorfismos (que conserva la orientación) es isomorfo a PSL (2, 7) , el segundo grupo simple no abeliano más pequeño. El cuartico se describió por primera vez en ( Klein 1878b ).
Quartic de Klein se produce en muchas ramas de las matemáticas, en contextos incluyendo teoría de la representación , teoría de la homología , octonión multiplicación [ citación necesaria ] , el último teorema de Fermat y el teorema Stark-Heegner en los campos de número cuadráticos imaginarios de número de clase uno; ver ( Levy 1999 ) para una encuesta de propiedades.
Originalmente, el "cuartico de Klein" se refería específicamente al subconjunto del plano proyectivo complejo P 2 ( C ) definido por una ecuación algebraica . Esto tiene una métrica Riemanniana específica (que la convierte en una superficie mínima en P 2 ( C ) ), bajo la cual su curvatura gaussiana no es constante. Pero más comúnmente (como en este artículo) ahora se considera como cualquier superficie de Riemann que es conforme de manera equivalente a esta curva algebraica, y especialmente la que es un cociente del plano hiperbólico H 2 por un cierto grupo cocompacto G que actúa libremente. en H 2 por isometrías. Esto le da al cuartico de Klein una métrica de Riemann de curvatura constante -1 que hereda de H 2 . Este conjunto de superficies Riemannianas conformemente equivalentes es precisamente el mismo que todas las superficies Riemannianas compactas del género 3 cuyo grupo de automorfismo conforme es isomorfo al grupo simple único de orden 168. Este grupo también se conoce como PSL (2, 7) , y también como el grupo isomorfo PSL (3, 2) . Al cubrir la teoría del espacio , el grupo G mencionado anteriormente es isomorfo al grupo fundamental de la superficie compacta del género 3 .
Formas cerradas y abiertas
Es importante distinguir dos formas diferentes de cuartico. El cuartico cerrado es lo que generalmente se entiende en geometría; topológicamente tiene género 3 y es un espacio compacto . El cuartico abierto o "perforado" es de interés en la teoría de números; topológicamente es una superficie de género 3 con 24 pinchazos, y geométricamente estos pinchazos son cúspides . El cuartico abierto puede obtenerse (topológicamente) del cuartico cerrado perforando en los 24 centros del revestimiento por heptágonos regulares, como se analiza a continuación. Los cuarticos abiertos y cerrados tienen métricas diferentes, aunque son hiperbólicos y completos [1] ; geométricamente, las cúspides son "puntos en el infinito", no agujeros, por lo que el cuartico abierto todavía está completo.
Como una curva algebraica
El cuartico de Klein puede verse como una curva algebraica proyectiva sobre los números complejos C , definida por la siguiente ecuación cuartica en coordenadas homogéneas [ x : y : z ] en P 2 ( C ) :
El lugar geométrico de esta ecuación en P 2 ( C ) es la superficie de Riemann original que describió Klein.
Construcción de álgebra de cuaternión
El cuartico compacto de Klein se puede construir como el cociente del plano hiperbólico por la acción de un grupo fucsiano adecuado Γ ( I ) que es el principal subgrupo de congruencia asociado con el ideal.en el anillo de enteros algebraicos Z ( η ) del campo Q ( η ) donde η = 2 cos (2 π / 7) . Tenga en cuenta la identidad
exhibiendo 2 - η como factor primo de 7 en el anillo de números enteros algebraicos.
El grupo Γ ( I ) es un subgrupo del grupo del triángulo hiperbólico (2,3,7) . Es decir, Γ ( I ) es un subgrupo del grupo de elementos de norma unitaria en el álgebra de cuaterniones generada como álgebra asociativa por los generadores i, j y relaciones
Se elige un orden de cuaterniones de Hurwitz adecuado en el álgebra de cuaterniones, Γ ( I ) es entonces el grupo de elementos de norma 1 en. El valor absoluto mínimo de una traza de un elemento hiperbólico en Γ ( I ) es, correspondiendo el valor 3.936 para la sístole del cuartico de Klein, uno de los más altos en este género.
Embaldosado
El cuartico de Klein admite teselaciones conectadas con el grupo de simetría (un " mapa regular " [2] ), y estos se utilizan para comprender el grupo de simetría, que se remonta al artículo original de Klein. Dado un dominio fundamental para la acción de grupo (para el grupo completo de simetría con inversión de orientación, un triángulo (2, 3, 7)), los dominios de reflexión (imágenes de este dominio bajo el grupo) dan un mosaico del cuartico tal que el grupo de automorfismo del mosaico es igual al grupo de automorfismo de la superficie - los reflejos en las líneas del mosaico corresponden a los reflejos en el grupo (los reflejos en las líneas de un triángulo fundamental dado dan un conjunto de 3 reflejos generadores). Este mosaico es un cociente del mosaico heptagonal bisecado de orden 3 del plano hiperbólico (la cubierta universal del cuártico), y todas las superficies de Hurwitz se colocan en mosaico de la misma manera, como cocientes.
Este mosaico es uniforme pero no regular (es mediante triángulos escalenos ), y a menudo se utilizan mosaicos regulares en su lugar. Se puede usar un cociente de cualquier mosaico de la familia (2, 3, 7) (y tendrá el mismo grupo de automorfismos); de estos, los dos mosaicos regulares son el mosaico por 24 heptágonos hiperbólicos regulares , cada uno de grado 3 (que se encuentran en 56 vértices), y el mosaico doble por 56 triángulos equiláteros , cada uno de los grados 7 (que se encuentran en 24 vértices). El orden del grupo de automorfismos está relacionado, siendo el número de polígonos multiplicado por el número de aristas del polígono en ambos casos.
- 24 × 7 = 168.
- 56 × 3 = 168.
Los mosaicos de cobertura en el plano hiperbólico son el mosaico heptagonal de orden 3 y el mosaico triangular de orden 7 .
El grupo de automorfismo se puede aumentar (mediante una simetría que no se realiza mediante una simetría del mosaico) para producir el grupo de Mathieu M 24 . [3]
Correspondiente a cada mosaico del cuartico (partición de la variedad cuártica en subconjuntos) hay un poliedro abstracto , que se abstrae de la geometría y solo refleja la combinatoria del mosaico (esta es una forma general de obtener un politopo abstracto a partir de un mosaico) - los vértices, aristas y caras del poliedro son iguales como conjuntos a los vértices, aristas y caras del mosaico, con las mismas relaciones de incidencia, y el grupo de automorfismo (combinatorio) del poliedro abstracto es igual al grupo de automorfismo (geométrico) del cuartico. De esta forma la geometría se reduce a combinatoria.
Cuartico afín
Lo anterior es un mosaico del cuartico proyectivo (un colector cerrado); el cuartico afín tiene 24 cúspides (topológicamente, pinchazos), que corresponden a los 24 vértices del mosaico triangular regular, o equivalentemente los centros de los 24 heptágonos en el mosaico heptagonal, y se pueden realizar de la siguiente manera.
Considerando la acción de SL (2, R ) en el modelo de semiplano superior H 2 del plano hiperbólico por transformaciones de Möbius , el cuartico afín de Klein se puede realizar como el cociente Γ (7) \ H 2 . (Aquí Γ (7) es el subgrupo de congruencia de SL (2, Z ) que consta de matrices que son congruentes con la matriz identidad cuando todas las entradas se toman en módulo 7.)
Dominio fundamental y descomposición de pantalones
El cuartico de Klein se puede obtener como el cociente del plano hiperbólico por la acción de un grupo fucsiano. El dominio fundamental es un 14-gon regular, que tiene un áreapor el teorema de Gauss-Bonnet . Esto se puede ver en la figura adjunta, que también incluye los triángulos 336 (2,3,7) que teselan la superficie y generan su grupo de simetrías.
Dentro de la teselación de (2,3,7) triángulos hay una teselación de 24 heptágonos regulares. La sístole de la superficie pasa por los puntos medios de 8 lados del heptágono; por esta razón se le ha llamado una "geodésica de ocho pasos" en la literatura, y es la razón del título del libro en la sección siguiente. Todas las curvas de colores en la figura que muestra la descomposición de los pantalones son sístoles, sin embargo, esto es solo un subconjunto; hay 21 en total. La duración de la sístole es
Una fórmula cerrada equivalente es
Mientras que el cuartico de Klein maximiza el grupo de simetría para las superficies del género 3, no maximiza la longitud de la sístole. El maximizador conjeturado es la superficie denominada "M3" ( Schmutz 1993 ). M3 proviene de una teselación de (2, 3, 12) triángulos, y su sístole tiene multiplicidad 24 y longitud
El cuartico de Klein se puede descomponer en cuatro pares de pantalones cortando seis de sus sístoles. Esta descomposición da un conjunto simétrico de coordenadas de Fenchel-Nielsen , donde los parámetros de longitud son todos iguales a la longitud de la sístole, y los parámetros de torsión son todos iguales ade la longitud de la sístole. En particular, tomando para ser la longitud de la sístole, las coordenadas son
El gráfico cúbico correspondiente a esta descomposición de pantalones es el gráfico tetraédrico, es decir, el gráfico de 4 nodos, cada uno conectado con el otro 3. El gráfico tetraédrico es similar al gráfico para el plano proyectivo de Fano ; de hecho, el grupo de automorfismos del cuartico de Klein es isomorfo al del plano de Fano.
Teoría espectral
Poco se ha demostrado acerca de la teoría espectral del cuartico de Klein, sin embargo, se ha conjeturado que maximiza el primer valor propio positivo del operador de Laplace entre todas las superficies compactas de Riemann del género 3 con curvatura negativa constante. Esta conjetura proviene del hecho de que el cuartico de Klein tiene el grupo de superficies de simetría más grande en su clase topológica, al igual que la superficie de Bolza en el género 2. Los valores propios del cuartico de Klein se han calculado con diversos grados de precisión. Los primeros 15 valores propios positivos distintos se muestran en la siguiente tabla, junto con sus multiplicidades.
Valor propio | Valor numérico | Multiplicidad |
---|---|---|
0 | 1 | |
2.67793 | 8 | |
6.62251 | 7 | |
10.8691 | 6 | |
12.1844 | 8 | |
17.2486 | 7 | |
21.9705 | 7 | |
24.0811 | 8 | |
25,9276 | 6 | |
30.8039 | 6 | |
36.4555 | 8 | |
37.4246 | 8 | |
41.5131 | 6 | |
44.8884 | 8 | |
49.0429 | 6 | |
50.6283 | 6 |
Modelos tridimensionales
El cuartico de Klein no se puede realizar como una figura tridimensional, en el sentido de que ninguna figura tridimensional tiene simetrías (rotacionales) iguales a PSL (2,7) , ya que PSL (2,7) no se incrusta como un subgrupo de SO (3) (o O (3) ): no tiene una representación lineal trivial (no trivial) sobre los números reales.
Sin embargo, se han dado muchos modelos tridimensionales del cuartico de Klein, comenzando en el artículo original de Klein, [2] [4] [5] [6] [7] que buscan demostrar las características del cuartico y preservar las simetrías topológicamente, aunque no todo geométricamente. Los modelos resultantes suelen tener simetrías tetraédricas (orden 12) u octaédricas (orden 24); la simetría de orden 7 restante no puede visualizarse tan fácilmente y, de hecho, es el título del artículo de Klein.
La mayoría de las veces, el cuartico está modelado por una superficie lisa de género 3 con simetría tetraédrica (reemplazando los bordes de un tetraedro regular con tubos / asas produce tal forma), que han sido apodados "tetrus", [7] o por aproximaciones poliédricas. , que han sido apodados "tetroides"; [7] en ambos casos se trata de una incrustación de la forma en 3 dimensiones. El modelo liso más notable (tetrus) es la escultura The Eightfold Way de Helaman Ferguson en el Mathematical Sciences Research Institute en Berkeley, California , hecha de mármol y serpentina, y presentada el 14 de noviembre de 1993. El título se refiere al hecho de que a partir de en cualquier vértice de la superficie triangulada y moviéndose a lo largo de cualquier borde, si gira alternativamente a la izquierda y a la derecha al llegar a un vértice, siempre regresa al punto original después de ocho bordes. La adquisición de la escultura condujo a su debido tiempo a la publicación de un libro de artículos ( Levy 1999 ), que detalla las propiedades del cuartico y contiene la primera traducción al inglés del artículo de Klein. Los modelos poliédricos con simetría tetraédrica suelen tener un casco convexo con un tetraedro truncado ; véanse ( Schulte & Wills 1985 ) y ( Scholl, Schürmann & Wills 2002 ) para ver ejemplos e ilustraciones. Algunos de estos modelos constan de 20 triángulos o 56 triángulos (de manera abstracta, el poliedro oblicuo regular {3,7 |, 4}, con 56 caras, 84 aristas y 24 vértices), que no se pueden realizar como equiláteros, con giros en el brazos del tetraedro; mientras que otros tienen 24 heptágonos; estos heptágonos pueden tomarse como planos, aunque no convexos, [8] y los modelos son más complejos que los triangulares porque la complejidad se refleja en las formas de las caras heptagonales (no flexibles) , en lugar de en los vértices (flexibles). [2]
Alternativamente, el cuartico puede ser modelado por un poliedro con simetría octaédrica: Klein modeló el cuartico por una forma con simetrías octaédricas y con puntos en el infinito (un "poliedro abierto"), [5] a saber, tres hiperboloides que se encuentran en ejes ortogonales, [2 ] mientras que también puede modelarse como un poliedro cerrado que debe estar sumergido (tener autointersecciones), no incrustado. [2] Dichos poliedros pueden tener varios cascos convexos, incluido el cubo truncado , [9] el cubo chato , [8] o el rombicuboctaedro , como en el pequeño cubicuboctaedro de la derecha. [3] La inmersión del pequeño cuboctaedro cúbico se obtiene uniendo algunos de los triángulos (2 triángulos forman un cuadrado, 6 forman un octágono), que se puede visualizar coloreando los triángulos (el mosaico correspondiente es topológicamente pero no geométricamente el 3 4 | 4 baldosas ). Esta inmersión también se puede utilizar para construir geométricamente el grupo Mathieu M 24 añadiendo a PSL (2,7) la permutación que intercambia puntos opuestos de las líneas bisectables de los cuadrados y octágonos. [3]
Dessin d'enfants
El dessin d'enfant en el cuartico de Klein asociado con el mapa del cociente por su grupo de automorfismos (con el cociente de la esfera de Riemann) es precisamente el esqueleto 1 del mosaico heptagonal de orden 3. [10] Es decir, el mapa del cociente se ramifica sobre los puntos 0, 1728 y ∞ ; dividir por 1728 produce una función de Belyi (ramificada en 0, 1 y ∞ ), donde los 56 vértices (puntos negros en dessin) se encuentran sobre 0, los puntos medios de los 84 bordes (puntos blancos en dessin) se encuentran sobre 1, y el los centros de los 24 heptágonos se encuentran sobre el infinito. La desina resultante es una desina "platónica", que significa borde-transitiva y "limpia" (cada punto blanco tiene valencia 2).
Superficies relacionadas
El cuartico de Klein está relacionado con varias otras superficies.
Geométricamente, es la superficie más pequeña de Hurwitz (género más bajo); la siguiente es la superficie Macbeath (género 7), y la siguiente es el primer triplete de Hurwitz (3 superficies del género 14). De manera más general, es la superficie más simétrica de un género dado (siendo una superficie de Hurwitz); en esta clase, la superficie de Bolza es la superficie más simétrica del género 2, mientras que la superficie de Bring es una superficie altamente simétrica del género 4; consulte las isometrías de las superficies de Riemann para una discusión más detallada.
Algebraicamente, el cuartico de Klein (afín) es la curva modular X (7) y el cuartico de Klein proyectivo es su compactación, así como el dodecaedro (con una cúspide en el centro de cada cara) es la curva modular X (5); esto explica la relevancia para la teoría de números.
Más sutilmente, el cuartico de Klein (proyectivo) es una curva de Shimura (al igual que las superficies de Hurwitz de los géneros 7 y 14) y, como tal, parametriza principalmente variedades abelianas polarizadas de dimensión 6. [11]
También hay otras superficies cuarticas de interés; consulte superficies cuarticas especiales .
Más excepcionalmente, el cuartico de Klein forma parte de una " trinidad " en el sentido de Vladimir Arnold , que también puede describirse como una correspondencia de McKay . En esta colección, los grupos lineales especiales proyectivos PSL (2,5), PSL (2,7) y PSL (2,11) (órdenes 60, 168, 660) son análogos, correspondientes a la simetría icosaédrica (género 0), las simetrías del cuartico de Klein (género 3) y la superficie de buckyball (género 70). [12] Estos están además conectados a muchos otros fenómenos excepcionales, que se elaboran en " trinidades ".
Ver también
- Configuración Grünbaum – Rigby
- Curva de Shimura
- Superficie de Hurwitz
- Superficie bolza
- Trae la curva
- Superficie Macbeath
- Primer triplete de Hurwitz
Referencias
- ↑ ( Levy 1999 , p. 24)
- ↑ a b c d e ( Scholl, Schürmann y Wills 2002 )
- ^ a b c ( Richter )
- ^ Baez, John C. (23 de mayo de 2013). "Curva cuartica de Klein" . Cosas de John Baez .
- ^ a b Westendorp, Gerard. "Mosaicos platónicos de superficies de Riemann" .
- ^ Quédate, Mike. "Quartic de Klein" .
- ^ a b c Séquin, Carlo H. (2006). "Patrones en el Klein Quartic Genus-3" (PDF) . En Sarhangi, Reza; Sharp, John (eds.). BRIDGES Conexiones matemáticas en las actas de conferencias de arte, música y ciencia . Bridges 2006. Londres, Reino Unido: Tarquin. págs. 245-254. ISBN 0-9665201-7-3. ISSN 1099-6702 .
- ↑ a b ( Schulte y Wills 1985 )
- ^ Egan, Greg (5 de junio de 2017). "Curva cuartica de Klein" . Notas de ciencia.
- ^ le Bruyn, Lieven (7 de marzo de 2007), La mejor propuesta rechazada jamás , archivada desde el original el 27 de febrero de 2014.
- ^ Elkies, sección 4.4 (págs. 94-97) en ( Levy 1999 ).
- ^ Martin, David; Singerman, Pablo (17 de abril de 2008), From Biplanes to the Klein quartic and the Buckyball (PDF)
Literatura
- Klein, F. (1878). "Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen" [ Transformación del orden siete de funciones elípticas]. Mathematische Annalen . 14 (3): 428–471. doi : 10.1007 / BF01677143 .Traducido en Levy 1999 .
- Elkies, N. (1998), "Cálculos de la curva de Shimura", Teoría algorítmica de números (Portland, OR, 1998) , Lecture Notes in Computer Science, 1423 , Berlín: Springer, págs. 1-47, arXiv : math.NT / 0005160 , doi : 10.1007 / BFb0054850 , ISBN 978-3-540-64657-0, MR 1726059
- Levy, Silvio, ed. (1999), The Eightfold Way , Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas, 35 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-66066-2, MR 1722410. Edición de bolsillo , Cambridge University Press , 2001, ISBN 978-0-521-00419-0 . Revisado por: Michler, Ruth I. (31 de julio de 2000). "El óctuple camino: la belleza de la curva cuántica de Klein" . Asociación Matemática de América . Reseñas de MAA.
- Schulte, Egon ; Wills, JM (1 de diciembre de 1985), "Una realización poliédrica del mapa {3, 7} 8 de Felix Klein en una superficie de Riemann del género 3" , J. London Math. Soc. , S2-32 (3): 539-547, doi : 10.1112 / JLMS / s2-32.3.539 , obtenidos 2010-04-17
- Karcher, H .; Weber, M. (1996), está en Klein superficie de Riemann , CiteSeerX 10.1.1.47.1879 , recuperada 2010-04-17[ enlace muerto ]
- Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M 24 , consultado el 15 de abril de 2010CS1 maint: ref duplica el valor predeterminado ( enlace )
- Schmutz, P. (1993). "Superficies de Riemann con la geodésica más corta de longitud máxima". GAFA . 3 (6): 564–631. doi : 10.1007 / BF01896258 .
- Scholl, P .; Schürmann, A .; Wills, JM (septiembre de 2002), "Modelos poliédricos del grupo de Felix Klein" , The Mathematical Intelligencer , 24 (3): 37–42, doi : 10.1007 / BF03024730 , archivado desde el original el 11 de junio de 2007CS1 maint: bot: estado de URL original desconocido ( enlace )
- Cantante, David; Syddall, Robert I. (2003), "La superficie de Riemann de un diseño uniforme" , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (2): 413–430
enlaces externos
- Curva cuartica de Klein , John Baez, 28 de julio de 2006
- Curva cuartica de Klein , por Greg Egan - ilustraciones
- Ecuaciones cuarticas de Klein , por Greg Egan - ilustraciones