En el campo matemático del análisis , las aplicaciones cuasiregulares son una clase de aplicaciones continuas entre espacios euclidianos R n de la misma dimensión o, más generalmente, entre variedades de Riemann de la misma dimensión, que comparten algunas de las propiedades básicas con funciones holomorfas de un complejo . variable.
La teoría de las funciones holomorfas (= analíticas ) de una variable compleja es una de las partes más bellas y útiles de toda la matemática.
Un inconveniente de esta teoría es que solo trata con aplicaciones entre espacios bidimensionales ( superficies de Riemann ). La teoría de funciones de varias variables complejas tiene un carácter diferente, principalmente porque las funciones analíticas de varias variables no son conformes . Los mapas conformes se pueden definir entre espacios euclidianos de dimensión arbitraria, pero cuando la dimensión es mayor que 2, esta clase de mapas es muy pequeña: consiste únicamente en transformaciones de Möbius . Este es un teorema de Joseph Liouville ; relajar los supuestos de suavidad no ayuda, como lo demostró Yurii Reshetnyak . [1]
Esto sugiere la búsqueda de una generalización de la propiedad de conformidad que daría una clase rica e interesante de mapas en dimensiones superiores.
Un mapa derivable f de una región D en R n a R n se llama K -cuasiregular si la siguiente desigualdad se cumple en todos los puntos en D :
Aquí K ≥ 1 es una constante, J f es el determinante jacobiano , Df es la derivada, es decir, el mapa lineal definido por la matriz de Jacobi , y ||·|| es la norma habitual (euclidiana) de la matriz.