En matemáticas , un número primo de Ramanujan es un número primo que satisface un resultado probado por Srinivasa Ramanujan relacionado con la función de conteo de primos .
Orígenes y definición
En 1919, Ramanujan publicó una nueva prueba del postulado de Bertrand que, como señala, fue probado por primera vez por Chebyshev . [1] Al final del artículo publicado de dos páginas, Ramanujan obtuvo un resultado generalizado, y es:
dónde es la función de conteo de primos , igual al número de primos menores o iguales que x .
El inverso de este resultado es la definición de números primos de Ramanujan:
- El n- ésimo primo de Ramanujan es el menor número entero R n para el cual para todo x ≥ R n . [2] En otras palabras: los números primos de Ramanujan son los mínimos enteros R n para los cuales hay al menos n primos entre x y x / 2 para todo x ≥ R n .
Los primeros cinco números primos de Ramanujan son, por tanto, 2, 11, 17, 29 y 41.
Tenga en cuenta que el entero R n es necesariamente un número primo: y por lo tanto, debe aumentar obteniendo otro primo en x = R n . Desde puede aumentar como máximo en 1,
Límites y fórmula asintótica
Para todos , los limites
mantener. Si, Después también
donde p n es el n- ésimo número primo.
Como n tiende a infinito, R n es asintótica a la 2 n º prime, es decir,
- R n ~ p 2 n ( n → ∞).
Todos estos resultados fueron probados por Sondow (2009), [3] excepto por el límite superior R n < p 3 n que fue conjeturado por él y probado por Laishram (2010). [4] El límite fue mejorado por Sondow, Nicholson y Noe (2011) [5] para
que es la forma óptima de R n ≤ c · p 3 n ya que es una igualdad para n = 5.
Referencias
- ^ Ramanujan, S. (1919), "Una prueba del postulado de Bertrand" , Revista de la Sociedad Matemática de la India , 11 : 181-182
- ^ Jonathan Sondow . "Ramanujan Prime" . MathWorld .
- ^ Sondow, J. (2009), "Los números primos de Ramanujan y el postulado de Bertrand", Amer. Matemáticas. Mensual , 116 (7): 630–635, arXiv : 0907.5232 , doi : 10.4169 / 193009709x458609
- ^ Laishram, S. (2010), "Sobre una conjetura sobre los números primos de Ramanujan" (PDF) , International Journal of Number Theory , 6 (8): 1869–1873, CiteSeerX 10.1.1.639.4934 , doi : 10.1142 / s1793042110003848.
- ^ Sondow, J .; Nicholson, J .; Noe, TD (2011), "Primos de Ramanujan: límites, carreras, gemelos y espacios" (PDF) , Journal of Integer Sequences , 14 : 11.6.2, arXiv : 1105.2249 , Bibcode : 2011arXiv1105.2249S