Función de rampa

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Gráfico de la función de rampa

La función de rampa es una función real unaria , cuyo gráfico tiene forma de rampa . Puede expresarse mediante numerosas definiciones , por ejemplo, "0 para entradas negativas, salida es igual a entrada para entradas no negativas". El término "rampa" también se puede utilizar para otras funciones obtenidas mediante escalado y desplazamiento , y la función en este artículo es la función de rampa unitaria (pendiente 1, comenzando en 0).

En matemáticas, la función de rampa también se conoce como parte positiva .

En el aprendizaje automático , se conoce comúnmente como una función de activación de ReLU ^{[1] [2]} o un rectificador en analogía a la rectificación de media onda en la ingeniería eléctrica . En estadística (cuando se usa como función de verosimilitud ) se conoce como modelo tobit .

Esta función tiene numerosas aplicaciones en matemáticas e ingeniería y recibe varios nombres, según el contexto.

Definiciones

La función de rampa ( R ( x ): ℝ → ℝ ₀ ⁺ ) puede definirse analíticamente de varias formas. Las posibles definiciones son:

• Una función por partes :

  ${\displaystyle R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}}$

• La función máxima :

  ${\displaystyle R(x):=\max(x,0)}$

• La media de una variable independiente y su valor absoluto (una línea recta con gradiente unitario y su módulo):

  ${\displaystyle R(x):={\frac {x+|x|}{2}}}$

esto se puede derivar observando la siguiente definición de max ( a , b ) ,

${\displaystyle \max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}}$

para lo cual a = x y b = 0

• La función de paso de Heaviside multiplicada por una línea recta con gradiente unitario:

  ${\displaystyle R\left(x\right):=xH(x)}$

• La convolución de la función escalonada Heaviside consigo misma:

  ${\displaystyle R\left(x\right):=H(x)*H(x)}$

• La integral de la función escalonada Heaviside: ^[3]

  ${\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi }$

• Soportes de Macaulay :

  ${\displaystyle R(x):=\langle x\rangle }$

Aplicaciones

La función de rampa tiene numerosas aplicaciones en ingeniería, como en la teoría del procesamiento de señales digitales .

Pago y ganancias de la compra de una opción de compra .

En finanzas , la recompensa de una opción de compra es una rampa (desplazada por el precio de ejercicio ). Dar la vuelta horizontalmente a una rampa da como resultado una opción de venta , mientras que invertir verticalmente (tomar el negativo) corresponde a vender o estar "corto" en una opción. En finanzas, la forma se llama ampliamente " palo de hockey ", debido a que es similar a un palo de hockey sobre hielo .

Un par de funciones de bisagra reflejadas con un nudo en x = 3,1

En estadística , las funciones de bisagra de las splines de regresión adaptativa multivariante (MARS) son rampas y se utilizan para construir modelos de regresión .

Propiedades analíticas

No negatividad

En todo el dominio, la función no es negativa, por lo que su valor absoluto es ella misma, es decir

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :R(x)\geq 0}$

y

${\displaystyle \left|R(x)\right|=R(x)}$

• Prueba: según la definición 2, no es negativo en el primer trimestre y cero en el segundo; por lo que en todas partes no es negativo.

Derivado

Su derivada es la función Heaviside :

${\displaystyle R'(x)=H(x)\quad {\mbox{for }}x\neq 0.}$

Segunda derivada

La función de rampa satisface la ecuación diferencial:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}R(x-x_{0})=\delta (x-x_{0}),}$

donde δ ( x ) es el delta de Dirac . Esto significa que R ( x ) es una función de Green para el segundo operador derivado. Por lo tanto, cualquier función, f ( x ) , con una segunda derivada integrable, f ″ ( x ) , satisfará la ecuación:

${\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{b}R(x-s)f''(s)\,ds\quad {\mbox{for }}a<x<b.}$

Transformada de Fourier

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\big \{}R(x){\big \}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}\,dx={\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}},}$

donde δ ( x ) es el delta de Dirac (en esta fórmula, aparece su derivada ).

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace unilateral de R ( x ) se da de la siguiente manera, ^[4]

${\displaystyle {\mathcal {L}}{\big \{}R(x){\big \}}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.}$

Propiedades algebraicas

Invariancia de iteración

Cada función iterada del mapeo de rampa es en sí misma, como

${\displaystyle R{\big (}R(x){\big )}=R(x).}$

• Prueba:

${\displaystyle R{\big (}R(x){\big )}:={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}=R(x).}$

Esto aplica la propiedad no negativa .

Ver también

• Modelo Tobit

Referencias

1. Brownlee, Jason (8 de enero de 2019). "Una suave introducción a la unidad lineal rectificada (ReLU)" . Dominio del aprendizaje automático . Consultado el 8 de abril de 2021 .
2. Liu, Danqing (30 de noviembre de 2017). "Una guía práctica de ReLU" . Medio . Consultado el 8 de abril de 2021 .
3. Weisstein, Eric W. "Función de rampa" . MathWorld .
4. "La transformada de Laplace de funciones" . lpsa.swarthmore.edu . Consultado el 5 de abril de 2019 .