Modelo Tobit

En estadística, un modelo tobit es cualquiera de una clase de modelos de regresión en los que el rango observado de la variable dependiente está censurado de alguna manera. ^[1] El término fue acuñado por Arthur Goldberger en referencia a James Tobin , ^{[2] [a]} quien desarrolló el modelo en 1958 para mitigar el problema de los datos inflados con cero para las observaciones del gasto de los hogares en bienes duraderos . ^{[3] [b]} Debido a que el método de Tobin se puede extender fácilmente para manejar muestras truncadas y otras muestras seleccionadas no al azar, ^[c]algunos autores adoptan una definición más amplia del modelo tobit que incluye estos casos. ^[4]

La idea de Tobin era modificar la función de verosimilitud para que reflejara la probabilidad de muestreo desigual para cada observación, dependiendo de si la variable dependiente latente caía por encima o por debajo del umbral determinado. ^[5] Para una muestra que, como en el caso original de Tobin, fue censurada desde abajo a cero, la probabilidad de muestreo para cada observación no límite es simplemente la altura de la función de densidad apropiada . Para cualquier observación límite, es la distribución acumulativa, es decir, la integral por debajo de cero de la función de densidad apropiada. La función de verosimilitud de tobit es, por tanto, una mezcla de densidades y funciones de distribución acumulativa. ^[6]

La función de probabilidad

A continuación se muestran las funciones de verosimilitud y logaritmo de verosimilitud para un tobit de tipo I. Se trata de un tobit que se censura desde abajo en el momento en que la variable latente . Al escribir la función de verosimilitud, primero definimos una función de indicador :${\displaystyle y_{L}}$${\displaystyle y_{j}^{*}\leq y_{L}}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle I(y)={\begin{cases}0&{\text{if }}y\leq y_{L},\\1&{\text{if }}y>y_{L}.\end{cases}}}$

A continuación, sea ​​la función de distribución acumulativa normal estándar y la función de densidad de probabilidad normal estándar . Para un conjunto de datos con N observaciones, la función de verosimilitud para un tobit de tipo I es${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\beta ,\sigma )=\prod _{j=1}^{N}\left({\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)^{I(y_{j})}\left(1-\Phi \left({\frac {X_{j}\beta -y_{L}}{\sigma }}\right)\right)^{1-I(y_{j})}}$

y la probabilidad logarítmica viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\mathcal {L}}(\beta ,\sigma )&=\sum _{j=1}^{n}I(y_{j})\log \left({\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)+(1-I(y_{j}))\log \left(1-\Phi \left({\frac {X_{j}\beta -y_{L}}{\sigma }}\right)\right)\\&=\sum _{y_{j}>y_{L}}\log \left({\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)+\sum _{y_{j}=y_{L}}\log \left(\Phi \left({\frac {y_{L}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)\end{aligned}}}$

Reparametrización

El logaritmo de verosimilitud que se indica anteriormente no es cóncavo globalmente, lo que complica la estimación de máxima verosimilitud . Olsen sugirió la reparametrización simple y , lo que resultó en una probabilidad logarítmica transformada,${\displaystyle \beta =\delta /\gamma }$${\displaystyle \sigma ^{2}=\gamma ^{-2}}$

${\displaystyle \log {\mathcal {L}}(\delta ,\gamma )=\sum _{y_{j}>y_{L}}\left\{\log \gamma +\log \left[\varphi \left(\gamma y_{j}-X_{j}\delta \right)\right]\right\}+\sum _{y_{j}=y_{L}}\log \left[\Phi \left(\gamma y_{L}-X_{j}\delta \right)\right]}$

que es globalmente cóncava en términos de los parámetros transformados. ^[7]

Para el modelo truncado (tobit II), Orme mostró que si bien la probabilidad logarítmica no es cóncava globalmente, es cóncava en cualquier punto estacionario bajo la transformación anterior. ^{[8] [9]}

Coherencia

Si el parámetro de relación se estima regresando el observado en , el estimador de regresión de mínimos cuadrados ordinarios resultante es inconsistente . Producirá una estimación con sesgo a la baja del coeficiente de pendiente y una estimación con sesgo al alza de la intersección. Takeshi Amemiya (1973) ha demostrado que el estimador de máxima verosimilitud sugerido por Tobin para este modelo es consistente. ^[10]${\displaystyle \beta }$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

Interpretación

El coeficiente no debe interpretarse como el efecto de on , como se haría con un modelo de regresión lineal ; Es un error común. En cambio, debe interpretarse como la combinación de (1) el cambio de aquellos por encima del límite, ponderado por la probabilidad de estar por encima del límite; y (2) el cambio en la probabilidad de estar por encima del límite, ponderado por el valor esperado de si está por encima. ^[11]${\displaystyle \beta }$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$

Variaciones del modelo tobit

Se pueden producir variaciones del modelo tobit cambiando dónde y cuándo ocurre la censura . Amemiya (1985 , p. 384) clasifica estas variaciones en cinco categorías (tobit tipo I - tobit tipo V), donde tobit tipo I representa el primer modelo descrito anteriormente. Schnedler (2005) proporciona una fórmula general para obtener estimadores de verosimilitud consistentes para estas y otras variaciones del modelo tobit. ^[12]

Tipo I

El modelo tobit es un caso especial de un modelo de regresión censurado , porque la variable latente no siempre se puede observar mientras que la variable independiente es observable. Una variación común del modelo tobit es censurar a un valor diferente de cero:${\displaystyle y_{i}^{*}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{L}}$

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{if }}y_{i}^{*}>y_{L},\\y_{L}&{\text{if }}y_{i}^{*}\leq y_{L}.\end{cases}}}$

Otro ejemplo es la censura de los valores anteriores .${\displaystyle y_{U}}$

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{if }}y_{i}^{*}<y_{U},\\y_{U}&{\text{if }}y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}$

Otro modelo más resulta cuando se censura desde arriba y desde abajo al mismo tiempo.${\displaystyle y_{i}}$

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{if }}y_{L}<y_{i}^{*}<y_{U},\\y_{L}&{\text{if }}y_{i}^{*}\leq y_{L},\\y_{U}&{\text{if }}y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}$

El resto de los modelos se presentarán acotados desde abajo en 0, aunque esto se puede generalizar como se hizo para el Tipo I.

Tipo II

Los modelos de tobit de tipo II introducen una segunda variable latente. ^[13]

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

En el tobit Tipo I, la variable latente absorbe tanto el proceso de participación como el resultado de interés. El tobit de tipo II permite que el proceso de participación (selección) y el resultado de interés sean independientes, condicionados a los datos observables.

El modelo de selección de Heckman cae en el tobit Tipo II, ^[14] que a veces se llama Heckit en honor a James Heckman . ^[15]

Tipo III

El tipo III introduce una segunda variable dependiente observada.

${\displaystyle y_{1i}={\begin{cases}y_{1i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

El modelo de Heckman cae en este tipo.

Tipo IV

El tipo IV introduce una tercera variable dependiente observada y una tercera variable latente.

${\displaystyle y_{1i}={\begin{cases}y_{1i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{3i}={\begin{cases}y_{3i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

Tipo V

Similar al Tipo II, en el Tipo V solo se observa el signo de .${\displaystyle y_{1i}^{*}}$

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{3i}={\begin{cases}y_{3i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0.\end{cases}}}$

Versión no paramétrica

Si la variable latente subyacente no se distribuye normalmente, se deben utilizar cuantiles en lugar de momentos para analizar la variable observable . El estimador CLAD de Powell ofrece una forma posible de lograrlo. ^[dieciséis]${\displaystyle y_{i}^{*}}$${\displaystyle y_{i}}$

Aplicaciones

Los modelos Tobit, por ejemplo, se han aplicado para estimar los factores que afectan la recepción de las subvenciones, incluidas las transferencias financieras distribuidas a los gobiernos subnacionales que pueden solicitar estas subvenciones. En estos casos, los beneficiarios de las subvenciones no pueden recibir cantidades negativas, por lo que los datos quedan censurados. Por ejemplo, Dahlberg y Johansson (2002) ^[17] analizan una muestra de 115 municipios (42 de los cuales recibieron una subvención). Dubois y Fattore (2011) ^[18]utilizar un modelo tobit para investigar el papel de varios factores en la recepción de fondos de la Unión Europea mediante la aplicación de los gobiernos subnacionales polacos. Sin embargo, los datos pueden quedar censurados en un punto superior a cero, con el riesgo de errores de especificación. Ambos estudios aplican Probit y otros modelos para verificar la solidez. Los modelos Tobit también se han aplicado en el análisis de la demanda para acomodar las observaciones con gastos cero en algunos bienes. En una aplicación relacionada de modelos tobit, se ha utilizado un sistema de modelos de regresión tobit no lineal para estimar conjuntamente un sistema de demanda de marca con variantes homocedásticas, heterocedásticas y heterocedásticas generalizadas. ^[19]

Ver también

• Modelo de obstáculo normal truncado
• Variable dependiente limitada
• Rectificador (redes neuronales)
• Modelo de regresión truncado
• Modelo dinámico de efectos no observados § Variable dependiente censurada
• Modelo probit , el nombre tobit es un juego de palabras tanto con Tobin, su creador, como con sus similitudes con los modelos probit.

Notas

1. Cuando se le preguntó por qué se llamaba modelo "tobit", en lugar de Tobin, James Tobin explicó que este término fue introducido por Arthur Goldberger , ya sea como una combinación de "Tobin's probit " o como una referencia a la novela The Caine Mutiny , una novela del amigo de Tobin, Herman Wouk , en la que Tobin hace un cameo como "Mr Tobit". Tobin informa haberle preguntado a Goldberger cuál era, y el hombre se negó a responder. Véase Shiller, Robert J. (1999). "La entrevista ET: profesor James Tobin". Teoría econométrica . 15 (6): 867–900. doi : 10.1017 / S0266466699156056 .
2. Anders Hald sugirió de forma independiente un modelo casi idénticoen 1949, véase Hald, A. (1949). "Estimación de máxima verosimilitud de los parámetros de una distribución normal truncada en un punto conocido". Revista actuarial escandinava . 49 (4): 119-134. doi : 10.1080 / 03461238.1949.10419767 .
3. Una muestrase censura encuandose observa para todas las observaciones, pero el valor real dese conoce solo para un rango restringido de observaciones. Si la muestra está truncada , ambosysolo se observan sise encuentra en el rango restringido. Véase Breen, Richard (1996). Modelos de regresión: censurado, muestras seleccionadas o datos truncados . Thousand Oaks: Sage. págs. 2–4. ISBN${\displaystyle (y_{i},\mathbf {x} _{i})}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$ 0-8039-5710-6.

Referencias

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2. Goldberger, Arthur S. (1964). Teoría econométrica . Nueva York: J. Wiley. págs.  253–55 .
3. Tobin, James (1958). "Estimación de relaciones para variables dependientes limitadas" (PDF) . Econometrica . 26 (1): 24–36. doi : 10.2307 / 1907382 . JSTOR 1907382 .  
4. Amemiya, Takeshi (1984). "Modelos Tobit: una encuesta". Revista de Econometría . 24 (1–2): 3–61. doi : 10.1016 / 0304-4076 (84) 90074-5 .
5. Kennedy, Peter (2003). Una guía de econometría (Quinta ed.). Cambridge: MIT Press. págs. 283-284. ISBN 0-262-61183-X.
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7. Olsen, Randall J. (1978). "Nota sobre la singularidad del estimador de máxima verosimilitud para el modelo Tobit". Econometrica . 46 (5): 1211-1215. doi : 10.2307 / 1911445 .
8. Orme, Chris (1989). "Sobre la singularidad del estimador de máxima verosimilitud en modelos de regresión truncada". Revisiones econométricas . 8 (2): 217–222. doi : 10.1080 / 07474938908800171 .
9. Iwata, Shigeru (1993). "Una nota sobre múltiples raíces de la probabilidad de registro de Tobit". Revista de Econometría . 56 (3): 441–445. doi : 10.1016 / 0304-4076 (93) 90129-S .
10. Amemiya, Takeshi (1973). "Análisis de regresión cuando la variable dependiente es normal truncada". Econometrica . 41 (6): 997–1016. doi : 10.2307 / 1914031 . JSTOR 1914031 . 
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12. Schnedler, Wendelin (2005). "Estimación de probabilidad de vectores aleatorios censurados" (PDF) . Revisiones econométricas . 24 (2): 195–217. doi : 10.1081 / ETC-200067925 . hdl : 10419/127228 .
13. Amemiya, Takeshi (1985). "Modelos Tobit". Econometría avanzada . Cambridge, Mass: Harvard University Press. pag. 384 . ISBN 0-674-00560-0. OCLC  11728277 .
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15. Sigelman, Lee; Zeng, Langche (1999). "Análisis de datos censurados y seleccionados por muestra con modelos Tobit y Heckit". Análisis político . 8 (2): 167–182. doi : 10.1093 / oxfordjournals.pan.a029811 . ISSN 1047-1987 . JSTOR 25791605 .  
16. Powell, James L (1 de julio de 1984). "Estimación de las desviaciones mínimas absolutas para el modelo de regresión censurado". Revista de Econometría . 25 (3): 303–325. CiteSeerX 10.1.1.461.4302 . doi : 10.1016 / 0304-4076 (84) 90004-6 . 
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Lectura adicional

• Amemiya, Takeshi (1985). "Modelos Tobit" . Econometría avanzada . Oxford: Basil Blackwell. págs. 360–411. ISBN 0-631-13345-3.
• Breen, Richard (1996). "El modelo Tobit para datos censurados". Modelos de regresión: censurado, muestras seleccionadas o datos truncados . Thousand Oaks: Sage. págs. 12–33. ISBN 0-8039-5710-6.
• Gouriéroux, Christian (2000). "El modelo Tobit" . Econometría de variables dependientes cualitativas . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 170–207. ISBN 0-521-58985-1.
• King, Gary (1989). "Modelos con selección no aleatoria" . Metodología política unificadora: la teoría de la semejanza de la inferencia estadística . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 208–230. ISBN 0-521-36697-6.
• Maddala, GS (1983). "Modelos de regresión censurados y truncados". Variables cualitativas y de dependencia limitada en econometría . Nueva York: Cambridge University Press. pp.  149 -196. ISBN 0-521-24143-X.