En matemáticas , particularmente en los campos de la teoría de números y la combinatoria , el rango de una partición de un entero positivo es un cierto número entero asociado con la partición . De hecho, en la literatura aparecen al menos dos definiciones diferentes de rango. La primera definición, a la que se refiere la mayor parte de este artículo, es que el rango de una partición es el número obtenido al restar el número de partes de la partición de la parte más grande de la partición. El concepto fue introducido por Freeman Dyson en un artículo publicado en la revista Eureka . [1]Se presentó en el contexto de un estudio de ciertas propiedades de congruencia de la función de partición descubierta por el genio matemático indio Srinivasa Ramanujan . Un concepto diferente, que comparte el mismo nombre, se usa en combinatoria, donde el rango se toma como el tamaño del cuadrado de Durfee de la partición.
Definición
Por una partición de un número entero positivo n nos referimos a un finito multiset λ = {λ k , λ k - 1 ,. . . , λ 1 } de enteros positivos que satisfacen las dos condiciones siguientes:
- λ k ≥. . . ≥ λ 2 ≥ λ 1 > 0.
- λ k +. . . + λ 2 + λ 1 = n .
Si λ k ,. . . , λ 2 , λ 1 son distintos, es decir, si
- λ k >. . . > λ 2 > λ 1 > 0
entonces la partición λ se llama una partición estricta de n . Los enteros λ k , λ k - 1 , ..., λ 1 son las partes de la partición. El número de partes en la partición λ es k y la parte más grande en la partición es λ k . El rango de la partición λ (ya sea ordinaria o estricta) se define como λ k - k . [1]
Los rangos de las particiones de n toman los siguientes valores y no otros: [1]
- n - 1, n −3, n −4,. . . , 2, 1, 0, −1, −2,. . . , - ( n - 4), - ( n - 3), - ( n - 1).
La siguiente tabla muestra los rangos de las distintas particiones del número 5.
Rangos de las particiones del entero 5
Partición (λ) | Parte más grande ( λ k ) | Número de piezas ( k ) | Rango de la partición ( λ k - k) |
---|---|---|---|
{5} | 5 | 1 | 4 |
{4, 1} | 4 | 2 | 2 |
{3, 2} | 3 | 2 | 1 |
{3, 1, 1} | 3 | 3 | 0 |
{2, 2, 1} | 2 | 3 | −1 |
{2, 1, 1, 1} | 2 | 4 | −2 |
{1, 1, 1, 1, 1} | 1 | 5 | −4 |
Notaciones
Las siguientes notaciones se utilizan para especificar cuántas particiones tienen un rango determinado. Sean n , q números enteros positivos y m cualquier número entero.
- El número total de particiones de n se denota por p ( n ).
- El número de particiones de n con rango m se denota por N ( m , n ).
- El número de particiones de n con congruente rango a m modulo q se denota por N ( m , q , n ).
- El número de particiones estrictas de n se indica con Q ( n ).
- El número de particiones estrictas de n con rango m se denota por R ( m , n ).
- El número de particiones estrictas de n con congruente rango a m modulo q es denotada por T ( m , q , n ).
Por ejemplo,
- p (5) = 7, N (2, 5) = 1, N (3, 5) = 0, N (2, 2, 5) = 5.
- Q (5) = 3, R (2, 5) = 1, R (3, 5) = 0, T (2, 2, 5) = 2.
Algunos resultados básicos
Sean n , q números enteros positivos y m cualquier número entero. [1]
Las congruencias de Ramanujan y la conjetura de Dyson
Srinivasa Ramanujan en un artículo publicado en 1919 demostró las siguientes congruencias que involucran la función de partición p ( n ): [2]
- p (5 n + 4) ≡ 0 (mod 5)
- p (7 n + 5) ≡ 0 (mod 7)
- p (11 n + 6) ≡ 0 (mod 11)
Al comentar este resultado, Dyson señaló que "... aunque podemos probar que las particiones de 5 n + 4 pueden dividirse en cinco subclases igualmente numerosas, es insatisfactorio no recibir de las pruebas una idea concreta de cómo se realiza la división. para ser realizado. Requerimos una prueba que no apelará a funciones generadoras,... ". [1] Dyson introdujo la idea del rango de una partición para lograr la tarea que se propuso. Usando esta nueva idea, hizo las siguientes conjeturas:
- N (0, 5, 5 n + 4) = N (1, 5, 5 n + 4) = N (2, 5, 5 n + 4) = N (3, 5, 5 n + 4) = N ( 4, 5, 5 n + 4)
- N (0, 7, 7 n + 5) = N (1, 7, 7 n + 5) = N (2, 7, 7 n + 5) =. . . = N (6, 7, 7 n + 5)
Estas conjeturas fueron probadas por Atkin y Swinnerton-Dyer en 1954. [3]
Las siguientes tablas muestran cómo las particiones de los números enteros 4 (5 × n + 4 con n = 0) y 9 (5 × n + 4 con n = 1) se dividen en cinco subclases igualmente numerosas.
Particiones del entero 4
Particiones con rango ≡ 0 (mod 5) | Particiones con rango ≡ 1 (mod 5) | Particiones con rango ≡ 2 (mod 5) | Particiones con rango ≡ 3 (mod 5) | Particiones con rango ≡ 4 (mod 5) |
---|---|---|---|---|
{2, 2} | {3, 1} | {1, 1, 1, 1} | {4} | {2, 1, 1} |
Particiones del entero 9
Particiones con rango ≡ 0 (mod 5) | Particiones con rango ≡ 1 (mod 5) | Particiones con rango ≡ 2 (mod 5) | Particiones con rango ≡ 3 (mod 5) | Particiones con rango ≡ 4 (mod 5) |
---|---|---|---|---|
{7, 2} | {8, 1} | {6, 1, 1, 1} | {9} | {7, 1, 1} |
{5, 1, 1, 1, 1} | {5, 2, 1, 1} | {5, 3, 1} | {6, 2, 1} | {6, 3} |
{4, 3, 1, 1} | {4, 4, 1} | {5, 2, 2} | {5, 4} | {4, 2, 1, 1, 1} |
{4, 2, 2, 1} | {4, 3, 2} | {3, 2, 1, 1, 1, 1} | {3, 3, 1, 1, 1} | {3, 3, 2, 1} |
{3, 3, 3} | {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1} | {2, 2, 2, 2, 1} | {4, 1, 1, 1, 1, 1} | {3, 2, 2, 2} |
{2, 2, 1, 1, 1, 1, 1} | {2, 2, 2, 1, 1, 1} | {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} | {3, 2, 2, 1, 1} | {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} |
Funciones generadoras
- La función generadora de p ( n ) fue descubierta por Euler y es bien conocida. [4]
- La función generadora de N ( m , n ) se da a continuación: [5]
- La función generadora de Q ( n ) se da a continuación: [6]
- La función generadora de Q ( m , n ) se da a continuación: [6]
Definición alternativa
En combinatoria, la frase rango de una partición se usa a veces para describir un concepto diferente: el rango de una partición λ es el entero más grande i tal que λ tiene al menos i partes, cada una de las cuales no es menor que i . [7] De manera equivalente, esta es la longitud de la diagonal principal en el diagrama de Young o el diagrama de Ferrers para λ, o la longitud del lado del cuadrado de Durfee de λ.
La tabla de rangos de particiones de 5 se muestra a continuación.
Rangos de las particiones del entero 5
Dividir | Rango |
---|---|
{5} | 1 |
{4, 1} | 1 |
{3, 2} | 2 |
{3, 1, 1} | 1 |
{2, 2, 1} | 2 |
{2, 1, 1, 1} | 1 |
{1, 1, 1, 1, 1} | 1 |
Otras lecturas
Ver también
Referencias
- ↑ a b c d e F. Dyson (1944). "Algunas conjeturas en la teoría de particiones" (PDF) . Eureka (Cambridge) . 8 : 10-15.
- ^ Srinivasa, Ramanujan (1919). "Algunas propiedades de p ( n ), número de particiones de n ". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . XIX : 207–210.
- ^ AOL Atkin; HPF Swinnerton-Dyer (1954). "Algunas propiedades de las particiones". Actas de la London Mathematical Society . 66 (4): 84-106. doi : 10.1112 / plms / s3-4.1.84 .
- ^ GH Hardy y EW Wright (1938). Introducción a la teoría de los números . Londres: Oxford University Press. pag. 274.
- ^ Bringmann, Kathrin (2009). "Congruencias para las filas de Dyson" (PDF) . Revista Internacional de Teoría de Números . 5 (4): 573–584. doi : 10.1142 / S1793042109002262 . Consultado el 24 de noviembre de 2012 .
- ^ a b María Monjes (2010). "Propiedades teóricas de números de funciones generadoras relacionadas con el rango de Dyson para particiones en partes distintas" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 138 (2): 481–494. doi : 10.1090 / s0002-9939-09-10076-x . Consultado el 24 de noviembre de 2012 .
- ^ Stanley, Richard P. (1999) Combinatoria enumerativa , volumen 2 , p. 289. Cambridge University Press . ISBN 0-521-56069-1 .
- ^ Bringman, Kathrin (julio de 2009). "Asintóticos para funciones de partición de rango" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 361 (7): 3483–3500. arXiv : 0708.0691 . doi : 10.1090 / s0002-9947-09-04553-x . S2CID 42465633 . Consultado el 21 de noviembre de 2012 .
- ^ Bringmann, Kathrin (2009). "Congruencias para el rango de Dyson" (PDF) . Revista Internacional de Teoría de Números . 5 (4): 573–584. doi : 10.1142 / S1793042109002262 . Consultado el 21 de noviembre de 2012 .
- ^ Berkovich, Alexander; Garvan, Frank G. (2008). "El rango BG de una partición y sus aplicaciones" (PDF) . Avances en Matemática Aplicada . 40 (3): 377–400. arXiv : matemáticas / 0602362 . doi : 10.1016 / j.aam.2007.04.002 . S2CID 7337479 . Consultado el 21 de noviembre de 2012 .