En matemáticas , las congruencias de Ramanujan son algunas congruencias notables para la función de partición p ( n ). El matemático Srinivasa Ramanujan descubrió las congruencias
Esto significa que:
- Si un número es 4 más que un múltiplo de 5, es decir, está en la secuencia
- 4, 9, 14, 19, 24, 29,. . .
- entonces el número de sus particiones es un múltiplo de 5.
- Si un número es 5 más que un múltiplo de 7, es decir, está en la secuencia
- 5, 12, 19, 26, 33, 40,. . .
- entonces el número de sus particiones es un múltiplo de 7.
- Si un número es 6 más que un múltiplo de 11, es decir, está en la secuencia
- 6, 17, 28, 39, 50, 61,. . .
- entonces el número de sus particiones es un múltiplo de 11.
Fondo
En su artículo de 1919, [1] demostró las dos primeras congruencias usando las siguientes identidades (usando la notación de símbolos q-Pochhammer ):
Luego declaró que "parece que no hay propiedades igualmente simples para ningún módulo que involucre primos distintos de estos".
Después de la muerte de Ramanujan en 1920, GH Hardy extrajo pruebas de las tres congruencias de un manuscrito inédito de Ramanujan en p ( n ) (Ramanujan, 1921). La prueba de este manuscrito emplea la serie de Eisenstein .
En 1944, Freeman Dyson definió la función de rango y conjeturó la existencia de una función de manivela para particiones que proporcionaría una prueba combinatoria de las congruencias de Ramanujan módulo 11. Cuarenta años más tarde, George Andrews y Frank Garvan encontraron tal función y demostraron el célebre resultado que la manivela "explica" simultáneamente las tres congruencias de Ramanujan módulo 5, 7 y 11.
En la década de 1960, AOL Atkin de la Universidad de Illinois en Chicago descubrió congruencias adicionales para pequeños módulos primos. Por ejemplo:
Extendiendo los resultados de A. Atkin, Ken Ono en 2000 demostró que existen tales congruencias de Ramanujan módulo cada coprimo entero a 6. Por ejemplo, sus resultados dan
Más tarde, Ken Ono conjeturó que la manivela esquiva también satisface exactamente los mismos tipos de congruencias generales. Esto fue probado por su Ph.D. estudiante Karl Mahlburg en su artículo 2005 Partition Congruences and the Andrews-Garvan-Dyson Crank , vinculado a continuación. Este artículo ganó el primer premio Proceedings of the National Academy of Sciences Paper of the Year. [2]
Una explicación conceptual para la observación de Ramanujan fue finalmente descubierta en enero de 2011 [3] al considerar la dimensión de Hausdorff de la siguientefunción en la topología l-adic :
Se ve que tiene dimensión 0 solo en los casos donde ℓ = 5, 7 u 11 y dado que la función de partición puede escribirse como una combinación lineal de estas funciones [4], esto puede considerarse una formalización y prueba de la observación de Ramanujan.
En 2001, RL Weaver proporcionó un algoritmo eficaz para encontrar congruencias de la función de partición y tabuló 76.065 congruencias. [5] Esto fue ampliado en 2012 por F. Johansson a 22,474,608,014 congruencias, [6] un gran ejemplo es
Ver también
- Función Tau , para la cual existen otras llamadas congruencias de Ramanujan.
- Rango de una partición
- Manivela de una partición
Referencias
- ^ Ramanujan, S. (1921). "Propiedades de congruencia de particiones" . Mathematische Zeitschrift . 9 (1-2): 147-153. doi : 10.1007 / bf01378341 . S2CID 121753215 .
- ^ "Premio Cozzarelli" . Academia Nacional de Ciencias . Junio de 2014 . Consultado el 6 de agosto de 2014 .
- ^ Folsom, Amanda ; Kent, Zachary A .; Ono, Ken (2012). "Propiedades ℓ-Adic de la función de partición" . Avances en Matemáticas . 229 (3): 1586. doi : 10.1016 / j.aim.2011.11.013 .
- ^ Bruinier, JH; Ono, K. (2011). "Fórmulas algebraicas para los coeficientes de formas de Maas débiles armónicas de peso semintegral" (PDF) . arXiv : 1104.1182 . Código bibliográfico : 2011arXiv1104.1182H . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Weaver, Rhiannon L. (2001). "Nuevas congruencias para la función de partición". El diario Ramanujan . 5 : 53–63. doi : 10.1023 / A: 1011493128408 . S2CID 119699656 .
- ^ Johansson, Fredrik (2012). "Implementación eficiente de la fórmula de Hardy-Ramanujan-Rademacher". Revista LMS de Computación y Matemáticas . 15 : 341–359. arXiv : 1205.5991 . doi : 10.1112 / S1461157012001088 . S2CID 16580723 .
- Ono, Ken (2000). "Distribución de la función de partición módulo m" . Annals of Mathematics . Segunda Serie. 151 (1): 293–307. arXiv : matemáticas / 0008140 . Bibcode : 2000math ... 8140O . doi : 10.2307 / 121118 . JSTOR 121118 . S2CID 119750203 . Zbl 0984.11050 .
- Ono, Ken (2004). La red de la modularidad: aritmética de los coeficientes de formas modulares y series q . Serie de conferencias regionales de CBMS en matemáticas. 102 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-3368-1. Zbl 1119.11026 .
- Ramanujan, S. (1919). "Algunas propiedades de p (n), el número de particiones de n". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 19 : 207–210. JFM 47.0885.01 .
enlaces externos
- Mahlburg, K. (2005). "Congruencias de partición y la manivela Andrews-Garvan-Dyson" (PDF) . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 102 (43): 15373–76. Código bibliográfico : 2005PNAS..10215373M . doi : 10.1073 / pnas.0506702102 . PMC 1266116 . PMID 16217020 .
- Rango, manivela y adjunto de Dyson . Una lista de referencias.