En álgebra abstracta , específicamente en la teoría de módulos , un submódulo denso de un módulo es un refinamiento de la noción de submódulo esencial . Si N es un submódulo denso de M , alternativamente se puede decir que " N ⊆ M es una extensión racional ". Los submódulos densos están conectados con anillos de cocientes en la teoría de anillos no conmutativos. La mayoría de los resultados que aparecen aquí se establecieron por primera vez en ( Johnson 1951 ), ( Utumi 1956 ) y ( Findlay & Lambek 1958 ) .
Cabe señalar que esta terminología es diferente de la noción de un subconjunto denso en la topología general . No se necesita una topología para definir un submódulo denso, y un submódulo denso puede o no ser topológicamente denso en un módulo con topología.
Este artículo modifica la exposición que aparece en ( Storrer 1972 ) y ( Lam 1999 , p. 272). Deje que R sea un anillo, y M es un derecho R módulo con submódulo N . Para un elemento y de M , defina
Tenga en cuenta que la expresión y -1 es meramente formal, ya que no tiene sentido hablar del módulo de elementos y siendo invertible , pero la notación ayuda a sugerir que Y ⋅ ( y -1 N ) ⊆ N . El conjunto y -1 N es siempre un derecho ideales de R .
Un submódulo N de M se dice que es un submódulo densa si para todo x y y en M con x ≠ 0, existe un r en R tal que xr ≠ {0} y yr es en N . En otras palabras, usando la notación introducida, el conjunto
Cada módulo R derecho M tiene una extensión esencial máxima E ( M ) que es su casco inyectivo . La construcción análoga que utiliza una extensión densa máxima da como resultado el casco racional Ẽ ( M ) que es un submódulo de E ( M ). Cuando un módulo no tiene una extensión racional adecuada, de modo que Ẽ ( M ) = M , se dice que el módulo está racionalmente completo . Si R es derecha no singular, entonces, por supuesto, Ẽ ( M ) = E (M ).