En álgebra elemental , la racionalización de raíces es un proceso mediante el cual se eliminan los radicales en el denominador de una fracción algebraica .
Si el denominador es un monomio en algún radical, digamoscon k < n , la racionalización consiste en multiplicar el numerador y el denominador por y reemplazando por x (esto es permitido, como, por definición, un n º raíz de x es un número que tiene x como su n ésima potencia). Si k ≥ n , se escribe k = qn + r con 0 ≤ r < n ( división euclidiana ), y luego se procede como arriba multiplicando por
Si el denominador es lineal en alguna raíz cuadrada, digamos La racionalización consiste en multiplicar el numerador y el denominador por y expandiendo el producto en el denominador.
Esta técnica puede extenderse a cualquier denominador algebraico, multiplicando el numerador y el denominador por todos los conjugados algebraicos del denominador, y expandiendo el nuevo denominador en la norma del antiguo denominador. Sin embargo, excepto en casos especiales, las fracciones resultantes pueden tener numeradores y denominadores enormes y, por lo tanto, la técnica se usa generalmente solo en los casos elementales anteriores.
Racionalización de una raíz cuadrada monomial y una raíz cúbica
Para la técnica fundamental, el numerador y el denominador deben multiplicarse por el mismo factor.
Ejemplo 1:
Para racionalizar este tipo de expresión , incorpore el factor:
La raíz cuadrada desaparece del denominador, porque por definición de raíz cuadrada:
que es el resultado de la racionalización.
Ejemplo 2:
Para racionalizar este radical, incorpore el factor :
La raíz cúbica desaparece del denominador porque está al cubo; entonces
que es el resultado de la racionalización.
Tratar con más raíces cuadradas
Para un denominador que sea:
La racionalización se puede lograr multiplicando por el conjugado :
y aplicando la diferencia de identidad de dos cuadrados , que aquí producirá −1. Para obtener este resultado, la fracción completa debe multiplicarse por
Esta técnica funciona de manera mucho más generalizada. Se puede adaptar fácilmente para eliminar una raíz cuadrada a la vez, es decir, para racionalizar
por multiplicación por
Ejemplo:
La fracción debe multiplicarse por un cociente que contenga .
Ahora, podemos proceder a eliminar las raíces cuadradas del denominador:
Ejemplo 2:
Este proceso también funciona con números complejos con
La fracción debe multiplicarse por un cociente que contenga .
Generalizaciones
La racionalización se puede extender a todos los números algebraicos y funciones algebraicas (como una aplicación de formas normativas ). Por ejemplo, para racionalizar una raíz cúbica , se deben usar dos factores lineales que involucren raíces cúbicas de unidad , o equivalentemente un factor cuadrático.
Referencias
Este material se incluye en textos de álgebra clásica. Por ejemplo:
- George Chrystal , Introduction to Algebra: For the Use of Secondary Schools and Technical Colleges es un texto del siglo XIX, primera edición de 1889, impreso ( ISBN 1402159072 ); un ejemplo de trinomio con raíces cuadradas está en la p. 256, mientras que una teoría general de los factores de racionalización de los excesos se encuentra en las págs. 189-199.