Elemento conjugado (teoría de campo)
En las matemáticas , en particular, la teoría de campos , los elementos conjugados o conjugados algebraicas de un elemento algebraico α , más de una extensión de campo L / K , son las raíces de la mínima polinomio p K , α ( x ) de α sobre K . Los elementos conjugados se denominan comúnmente conjugados en contextos donde esto no es ambiguo. Normalmente, el propio α está incluido en el conjunto de conjugados de α .
De manera equivalente, los conjugados de α son las imágenes de α bajo los automorfismos de campo de L que dejan fijan los elementos de K . La equivalencia de las dos definiciones es uno de los puntos de partida de la teoría de Galois .
El concepto generaliza la conjugación compleja , ya que la conjugación algebraica de un número complejo es el número mismo y su conjugado complejo .
Si K se da dentro de un cuerpo algebraicamente cerrado C , a continuación, los conjugados se pueden tomar dentro C . Si no se especifica tal C , se pueden tomar los conjugados en algún campo L relativamente pequeño . La opción más pequeña posible para L es tomar un campo de división sobre K de p K , α , que contiene α . Si L es una extensión normal de K que contiene α , entonces, por definición, ya contiene dicho campo de división.
Dada entonces una extensión normal L de K , con grupo de automorfismo Aut ( L / K ) = G , y conteniendo α , cualquier elemento g ( α ) para g en G será un conjugado de α , ya que el automorfismo g envía raíces de p a las raíces de p . A la inversa, cualquier conjugado β de α tiene esta forma: en otras palabras, G actúa transitivamente sobre los conjugados. Esto sigue como K( Α ) es K -isomorphic a K ( β ) por irreductibilidad del polinomio mínimo, y cualquier isomorfismo de campos F y F ' que mapea polinomio p a p ' puede ser extendida a un isomorfismo de los campos de división de p más de F y p ' sobre F ' , respectivamente.
En resumen, los elementos conjugados de α se encuentran, en cualquier extensión normal L de K que contenga K ( α ), como el conjunto de elementos g ( α ) para g en Aut ( L / K ). El número de repeticiones en esa lista de cada elemento es el grado separable [ L : K ( α )] sep .