La inestabilidad de Rayleigh-Taylor , o inestabilidad de RT (después de Lord Rayleigh y GI Taylor ), es una inestabilidad de una interfaz entre dos fluidos de diferentes densidades que ocurre cuando el fluido más ligero empuja al fluido más pesado. [2] [3] [4] Los ejemplos incluyen el comportamiento del agua suspendida sobre el petróleo en la gravedad de la Tierra , [3] nubes en forma de hongo como las de erupciones volcánicas y explosiones nucleares atmosféricas , [5] supernovaexplosiones en las que el gas del núcleo en expansión se acelera a gas de capa más denso, [6] [7] inestabilidades en reactores de fusión de plasma y [8] fusión por confinamiento inercial. [9]
El agua suspendida sobre el petróleo es un ejemplo cotidiano de la inestabilidad de Rayleigh-Taylor, y puede ser modelada por dos capas completamente planas y paralelas de fluido inmiscible , la más densa encima de la menos densa y ambas sujetas a la gravedad de la Tierra. El equilibrio aquí es inestable a cualquier perturbación o alteración de la interfaz: si una parcela de fluido más pesado se desplaza hacia abajo con un volumen igual de fluido más ligero desplazado hacia arriba, la energía potencial de la configuración es menor que el estado inicial. Por lo tanto, la perturbación aumentará y conducirá a una mayor liberación de energía potencial , a medida que el material más denso se mueve hacia abajo bajo el campo gravitacional (efectivo) y el material menos denso se desplaza hacia arriba. Esta fue la configuración estudiada por Lord Rayleigh. [3] La idea importante de GI Taylor fue su comprensión de que esta situación es equivalente a la situación en la que los fluidos se aceleran , con el fluido menos denso acelerando hacia el fluido más denso. [3] Esto ocurre bajo el agua en la superficie de una burbuja en expansión y en una explosión nuclear. [10]
A medida que se desarrolla la inestabilidad del RT, las perturbaciones iniciales progresan de una fase de crecimiento lineal a una fase de crecimiento no lineal, eventualmente desarrollando "penachos" que fluyen hacia arriba (en el sentido de flotabilidad gravitacional) y "picos" que caen hacia abajo. En la fase lineal, el movimiento del fluido se puede aproximar mucho mediante ecuaciones lineales , y la amplitud de las perturbaciones crece exponencialmente con el tiempo. En la fase no lineal, la amplitud de la perturbación es demasiado grande para una aproximación lineal y se requieren ecuaciones no lineales para describir los movimientos de los fluidos. En general, la disparidad de densidad entre los fluidos determina la estructura de los flujos de inestabilidad de RT no lineales posteriores (asumiendo que otras variables como la tensión superficial y la viscosidad son insignificantes aquí). La diferencia en las densidades de fluido divididas por su suma se define como el número de Atwood , A. Para A cercano a 0, los flujos de inestabilidad RT toman la forma de "dedos" simétricos de fluido; para A cercano a 1, el fluido mucho más ligero "debajo" del fluido más pesado toma la forma de columnas más grandes en forma de burbujas. [2]
Este proceso es evidente no solo en muchos ejemplos terrestres, desde domos de sal hasta inversiones meteorológicas , sino también en astrofísica y electrohidrodinámica . Por ejemplo, la estructura de inestabilidad de RT es evidente en la Nebulosa del Cangrejo , en la que la nebulosa de viento púlsar en expansión impulsada por el púlsar del Cangrejo está barriendo el material expulsado de la explosión de la supernova hace 1000 años. [11] La inestabilidad de la RT también se ha descubierto recientemente en la atmósfera exterior del Sol, o corona solar , cuando una prominencia solar relativamente densa se superpone a una burbuja de plasma menos densa. [12] Este último caso se asemeja a las inestabilidades de RT moduladas magnéticamente. [13] [14] [15]
Tenga en cuenta que la inestabilidad de RT no debe confundirse con la inestabilidad de Plateau-Rayleigh (también conocida como inestabilidad de Rayleigh ) de un chorro de líquido. Esta inestabilidad, a veces llamada inestabilidad de la manguera (o manguera contra incendios), se produce debido a la tensión superficial, que actúa para romper un chorro cilíndrico en una corriente de gotitas que tienen el mismo volumen total pero una superficie superior.
Mucha gente ha sido testigo de la inestabilidad del RT al mirar una lámpara de lava , aunque algunos podrían afirmar que esto se describe con mayor precisión como un ejemplo de convección de Rayleigh-Bénard debido al calentamiento activo de la capa de fluido en la parte inferior de la lámpara.
Etapas de desarrollo y eventual evolución hacia una mezcla turbulenta.
La evolución de la RTI sigue cuatro etapas principales. [2] En la primera etapa, las amplitudes de perturbación son pequeñas en comparación con sus longitudes de onda, las ecuaciones de movimiento se pueden linealizar, lo que resulta en un crecimiento exponencial de la inestabilidad. En la primera parte de esta etapa, una perturbación inicial sinusoidal conserva su forma sinusoidal. Sin embargo, después del final de esta primera etapa, cuando comienzan a aparecer efectos no lineales, se observa el comienzo de la formación de los ubicuos picos en forma de hongo (estructuras fluidas de fluido pesado que se transforman en fluido ligero) y burbujas (estructuras fluidas de líquido ligero que se convierte en líquido pesado). El crecimiento de las estructuras de los hongos continúa en la segunda etapa y se puede modelar utilizando modelos de arrastre de flotabilidad, lo que resulta en una tasa de crecimiento que es aproximadamente constante en el tiempo. En este punto, los términos no lineales en las ecuaciones de movimiento ya no pueden ignorarse. Los picos y las burbujas comienzan a interactuar entre sí en la tercera etapa. Tiene lugar la fusión de burbujas, donde la interacción no lineal del acoplamiento de modos actúa para combinar picos y burbujas más pequeños para producir otros más grandes. Además, tiene lugar la competencia de burbujas, donde picos y burbujas de menor longitud de onda que se han saturado son envueltos por otras más grandes que aún no se han saturado. Esto eventualmente se convierte en una región de mezcla turbulenta, que es la cuarta y última etapa de la evolución. Generalmente se asume que la región de mezcla que finalmente se desarrolla es auto-similar y turbulenta, siempre que el número de Reynolds sea suficientemente grande. [dieciséis]
Análisis de estabilidad lineal
La inestabilidad bidimensional invisible de Rayleigh-Taylor (RT) proporciona un excelente trampolín hacia el estudio matemático de la estabilidad debido a la naturaleza simple del estado base. [17] Este es el estado de equilibrio que existe antes de que se agregue cualquier perturbación al sistema, y se describe mediante el campo de velocidad mediadonde está el campo gravitacional Una interfaz en separa los fluidos de densidades en la región alta, y en la región inferior. En esta sección se muestra que cuando el fluido pesado se asienta en la parte superior, el crecimiento de una pequeña perturbación en la interfaz es exponencial y tiene lugar a la velocidad [3]
dónde es la tasa de crecimiento temporal, es el número de onda espacial yes el número de Atwood .
La perturbación introducida en el sistema se describe mediante un campo de velocidad de amplitud infinitesimalmente pequeña, Debido a que se supone que el fluido es incompresible, este campo de velocidad tiene la representación de la función de corriente
donde los subíndices indican derivadas parciales . Además, en un fluido incompresible inicialmente estacionario, no hay vorticidad, y el fluido permanece irrotacional , por lo tanto. En la representación de la función de flujo,A continuación, debido a la invariancia traslacional del sistema en la dirección x , es posible hacer que el ansatz
dónde es un número de onda espacial. Por tanto, el problema se reduce a resolver la ecuación
El dominio del problema es el siguiente: el fluido con la etiqueta 'L' vive en la región , mientras que el fluido con la etiqueta 'G' vive en el semiplano superior . Para especificar la solución por completo, es necesario corregir las condiciones en los límites y la interfaz. Esto determina la velocidad de onda c , que a su vez determina las propiedades de estabilidad del sistema.
La primera de estas condiciones la proporcionan los detalles en el límite. Las velocidades de perturbación debe satisfacer una condición sin flujo, de modo que el fluido no se escape en los límites Por lo tanto, en , y en . En términos de la función de flujo, esto es
Las otras tres condiciones se proporcionan mediante detalles en la interfaz .
Continuidad de la velocidad vertical: At, las velocidades verticales coinciden, . Usando la representación de la función de flujo, esto da
Expandiendo sobre da
donde HOT significa 'términos de orden superior'. Esta ecuación es la condición interfacial requerida.
La condición de superficie libre: en la superficie libre, la condición cinemática se cumple:
Linealizando, esto es simplemente
donde la velocidad se linealiza sobre la superficie . Usando las representaciones de función de flujo y modo normal, esta condición es, la segunda condición interfacial.
Relación de presión a través de la interfaz: Para el caso con tensión superficial , la diferencia de presión sobre la interfaz enviene dada por la ecuación de Young-Laplace :
donde σ es la tensión superficial y κ es la curvatura de la interfaz, que en una aproximación lineal es
Por lo tanto,
Sin embargo, esta condición se refiere a la presión total (base + perturbada), por lo que
(Como de costumbre, las cantidades perturbadas se pueden linealizar sobre la superficie z = 0. ) Usando el equilibrio hidrostático , en la forma
esto se convierte en
Las presiones perturbadas se evalúan en términos de funciones de corriente, utilizando la ecuación de momento horizontal de las ecuaciones de Euler linealizadas para las perturbaciones,
- con
ceder
Poniendo esta última ecuación y la condición de salto en juntos,
Sustituyendo la segunda condición interfacial y usando la representación en modo normal, esta relación se convierte en
donde no hay necesidad de etiquetar (solo sus derivados) porque a
- Solución
Ahora que se ha configurado el modelo de flujo estratificado, la solución está al alcance de la mano. La ecuación de la función de flujo con las condiciones de contorno tiene la solucion
La primera condición interfacial establece que a , que fuerza La tercera condición interfacial establece que
Insertar la solución en esta ecuación da la relación
La A cancela desde ambos lados y nos quedamos con
Para comprender las implicaciones de este resultado en su totalidad, es útil considerar el caso de tensión superficial cero. Luego,
y claramente
- Si , y c es real. Esto sucede cuando el
líquido para encendedor se asienta en la parte superior;
- Si , y c es puramente imaginario. Esto pasa
cuando el líquido más pesado se asienta encima.
Ahora, cuando el fluido más pesado se asienta en la parte superior, , y
dónde es el número de Atwood . Al tomar la solución positiva, vemos que la solución tiene la forma
y esto está asociado a la posición de la interfaz η por: Ahora define
La evolución temporal de la elevación de la interfaz libre inicialmente en es dado por:
que crece exponencialmente en el tiempo. Aquí B es la amplitud de la perturbación inicial, ydenota la parte real de la expresión de valor complejo entre paréntesis.
En general, la condición para la inestabilidad lineal es que la parte imaginaria de la "velocidad de onda" c sea positiva. Finalmente, restaurar la tensión superficial hace que c 2 sea menos negativo y, por lo tanto, se estabiliza. De hecho, existe una gama de ondas cortas para las que la tensión superficial estabiliza el sistema y evita la formación de inestabilidad.
Cuando se permite que las dos capas del fluido tengan una velocidad relativa, la inestabilidad se generaliza a la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz-Rayleigh-Taylor, que incluye tanto la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz como la inestabilidad de Rayleigh-Taylor como casos especiales. Recientemente se descubrió que las ecuaciones de fluidos que gobiernan la dinámica lineal del sistema admiten una simetría de paridad-tiempo , y la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz-Rayleigh-Taylor ocurre cuando y solo cuando la simetría de paridad-tiempo se rompe espontáneamente. [18]
Explicación de la vorticidad
La inestabilidad del RT puede verse como el resultado del par baroclínico creado por la desalineación de los gradientes de presión y densidad en la interfaz perturbada, como se describe en la ecuación bidimensional de vorticidad no viscosa , , donde ω es la vorticidad, ρ densidad yp es la presión. En este caso, el gradiente de presión dominante es hidrostático , resultante de la aceleración.
Cuando está en la configuración inestable, para un componente armónico particular de la perturbación inicial, el par en la interfaz crea una vorticidad que tenderá a aumentar la desalineación de los vectores de gradiente . Esto, a su vez, crea vorticidad adicional, lo que conduce a una mayor desalineación. Este concepto se representa en la figura, donde se observa que los dos vórtices contrarrotantes tienen campos de velocidad que se suman en el pico y valle de la interfaz perturbada. En la configuración estable, la vorticidad, y por lo tanto el campo de velocidad inducido, estará en una dirección que disminuye la desalineación y por lo tanto estabiliza el sistema. [16] [19]
Comportamiento tardío
El análisis de la sección anterior se rompe cuando la amplitud de la perturbación es grande. El crecimiento luego se vuelve no lineal a medida que los picos y las burbujas de la inestabilidad se enredan y se enrollan en vórtices. Luego, como en la figura, se requiere una simulación numérica del problema completo para describir el sistema.
Ver también
- Inestabilidad de Saffman-Taylor
- Inestabilidad de Richtmyer-Meshkov
- Inestabilidad de Kelvin-Helmholtz
- Nube en forma de hongo
- Inestabilidad de Plateau-Rayleigh
- Digitación de sal
- Estabilidad hidrodinámica
- Calle del vórtice de Kármán
- Ruptura de hilo fluido
Notas
- ^ Li, Shengtai y Hui Li. "Código AMR paralelo para ecuaciones MHD o HD comprimibles" . Laboratorio Nacional de Los Alamos . Consultado el 5 de septiembre de 2006 .
- ^ a b c Sharp, DH (1984). "Una descripción general de la inestabilidad de Rayleigh-Taylor" . Physica D . 12 (1): 3–18. Código Bibliográfico : 1984PhyD ... 12 .... 3S . doi : 10.1016 / 0167-2789 (84) 90510-4 .
- ^ a b c d e Drazin (2002) págs. 50–51.
- ^ David Youngs (ed.). "Inestabilidad y mezcla de Rayleigh-Taylor" . Scholarpedia .
- ^ https://gizmodo.com/why-nuclear-bombs-create-mushroom-clouds-1468107869
- ^ Wang, C.-Y. Y Chevalier RA (2000). "Inestabilidades y aglomeraciones en remanentes de supernova tipo Ia". El diario astrofísico . 549 (2): 1119-1134. arXiv : astro-ph / 0005105v1 . Código Bibliográfico : 2001ApJ ... 549.1119W . doi : 10.1086 / 319439 . S2CID 15244583 .
- ^ Hillebrandt, W .; Höflich, P. (1992). "Supernova 1987a en la Gran Nube de Magallanes". En RJ Tayler (ed.). Astrofísica estelar . Prensa CRC . págs. 249-302. ISBN 978-0-7503-0200-5.. Consulte la página 274.
- ^ Chen, HB; Hilko, B .; Panarella, E. (1994). "La inestabilidad de Rayleigh-Taylor en el pellizco esférico". Revista de energía de fusión . 13 (4): 275–280. Código bibliográfico : 1994JFuE ... 13..275C . doi : 10.1007 / BF02215847 . S2CID 122223176 .
- ^ Betti, R .; Goncharov, VN; McCrory, RL; Verdon, CP (1998). "Tasas de crecimiento de la inestabilidad ablativa de Rayleigh-Taylor en la fusión por confinamiento inercial". Física de Plasmas . 5 (5): 1446-1454. Código Bibliográfico : 1998PhPl .... 5.1446B . doi : 10.1063 / 1.872802 .
- ^ John Pritchett (1971). "EVALUACIÓN DE DIVERSOS MODELOS TEÓRICOS PARA EXPLOSIÓN SUBMARINA" (PDF) . Gobierno de los Estados Unidos. pag. 86 . Consultado el 9 de octubre de 2012 .
- ^ Hester, J. Jeff (2008). "La nebulosa del cangrejo: una quimera astrofísica". Revista anual de astronomía y astrofísica . 46 : 127-155. Código bibliográfico : 2008ARA & A..46..127H . doi : 10.1146 / annurev.astro.45.051806.110608 .
- ^ Berger, Thomas E .; Slater, Gregory; Hurlburt, Neal; Brilla, Richard; et al. (2010). "Dinámica de prominencia inactiva observada con el telescopio óptico solar Hinode. I. Plumas turbulentas de flujo ascendente" . El diario astrofísico . 716 (2): 1288–1307. Código Bibliográfico : 2010ApJ ... 716.1288B . doi : 10.1088 / 0004-637X / 716/2/1288 .
- ^ a b Chandrasekhar, S. (1981). Estabilidad hidrodinámica e hidromagnética . Dover. ISBN 978-0-486-64071-6.. Ver cap. X.
- ^ Hillier, A .; Berger, Thomas; Isobe, Hiroaki; Shibata, Kazunari (2012). "Simulaciones numéricas de la inestabilidad magnética de Rayleigh-Taylor en el modelo de prominencia de Kippenhahn-Schl {\" u} ter. I. Formación de flujos ascendentes " . The Astrophysical Journal . 716 (2): 120-133. Código Bibliográfico : 2012ApJ ... 746..120H . Doi : 10.1088 / 0004-637X / 746/2/120 .
- ^ Singh, Chamkor; Das, Arup K .; Das, Prasanta K. (2016), "Inestabilidad monomodo de una interfaz ferrofluido-mercurio bajo un campo magnético no uniforme", Physical Review E , 94 (1): 012803, doi : 10.1103 / PhysRevE.94.012803 , PMID 27575198
- ^ a b Roberts, MS; Jacobs, JW (2015). "Los efectos de las perturbaciones iniciales forzadas de longitud de onda pequeña, ancho de banda finito y miscibilidad en la inestabilidad turbulenta de Rayleigh Taylor". Revista de Mecánica de Fluidos . 787 : 50–83. Código Bibliográfico : 2016JFM ... 787 ... 50R . doi : 10.1017 / jfm.2015.599 . OSTI 1436483 .
- ↑ a b Drazin (2002) págs. 48–52.
- ^ Qin, H .; et al. (2019). "La inestabilidad de Kelvin-Helmholtz es el resultado de la ruptura de la simetría de paridad-tiempo". Física de Plasmas . 26 (3): 032102. arXiv : 1810.11460 . doi : 10.1063 / 1.5088498 . S2CID 53658729 .
- ^ Roberts, MS (2012). "Experimentos y simulaciones sobre lo incompresible, inestabilidad de Rayleigh-Taylor con perturbaciones iniciales de longitud de onda pequeña" . Disertaciones de la Universidad de Arizona.
Referencias
Trabajos de investigación originales
- Rayleigh, Lord (John William Strutt) (1883). "Investigación del carácter del equilibrio de un fluido pesado incompresible de densidad variable" . Actas de la London Mathematical Society . 14 : 170-177. doi : 10.1112 / plms / s1-14.1.170 .(El documento original está disponible en: https://www.irphe.fr/~clanet/otherpaperfile/articles/Rayleigh/rayleigh1883.pdf .)
- Taylor, Sir Geoffrey Ingram (1950). "La inestabilidad de las superficies líquidas cuando se acelera en una dirección perpendicular a sus planos". Actas de la Royal Society of London. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas . 201 (1065): 192-196. Código Bibliográfico : 1950RSPSA.201..192T . doi : 10.1098 / rspa.1950.0052 . S2CID 98831861 .
Otro
- Chandrasekhar, Subrahmanyan (1981). Estabilidad hidrodinámica e hidromagnética . Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-64071-6.
- Drazin, PG (2002). Introducción a la estabilidad hidrodinámica . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-00965-2. xvii + 238 páginas.
- Drazin, PG; Reid, WH (2004). Estabilidad hidrodinámica (2ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-52541-1. 626 páginas.
enlaces externos
- Demostración en Java de la inestabilidad de RT en fluidos
- Imágenes y videos reales de dedos RT
- Experimentos sobre la inestabilidad de Rayleigh-Taylor en la Universidad de Arizona
- Experimento de inestabilidad de Rayleigh-Taylor de plasma en el Instituto de Tecnología de California