En dinámica de fluidos, el problema de Rayleigh , también conocido como primer problema de Stokes, es un problema de determinación del flujo creado por un movimiento repentino de una placa infinitamente larga desde el reposo, que lleva el nombre de Lord Rayleigh y Sir George Stokes . Este se considera como uno de los problemas inestables más simples que tienen una solución exacta para las ecuaciones de Navier-Stokes . El movimiento impulsivo de la placa semi-infinita fue estudiado por Keith Stewartson . [1]
Descripción de flujo [2] [3]
Considere una placa infinitamente larga que de repente se mueve con velocidad constante en el dirección, que se encuentra en en un dominio infinito de fluido, que inicialmente está en reposo en todas partes. Las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes se reducen a
dónde es la viscosidad cinemática . La condición inicial y antideslizante en la pared son
la última condición se debe al hecho de que el movimiento en no se siente en el infinito. El flujo se debe solo al movimiento de la placa, no hay un gradiente de presión impuesto.
Solución autosimilar [4]
El problema en general es similar al problema de conducción de calor unidimensional. Por tanto, se puede introducir una variable auto-similar
Sustituyendo esta ecuación diferencial parcial, la reduce a ecuación diferencial ordinaria
con condiciones de contorno
La solución al problema anterior se puede escribir en términos de función de error complementaria
La fuerza por unidad de área ejercida sobre la placa es
Movimiento arbitrario de la pared
En lugar de utilizar una condición de frontera escalonada para el movimiento de la pared, la velocidad de la pared se puede prescribir como una función arbitraria del tiempo, es decir, . Entonces la solución viene dada por [5]
El problema de Rayleigh en geometría cilíndrica
Cilindro giratorio
Considere un cilindro de radio infinitamente largo comienza a girar repentinamente en el momento con una velocidad angular . Entonces la velocidad en el la dirección viene dada por
dónde es la función de Bessel modificada del segundo tipo. Como, la solución se aproxima a la de un vórtice rígido. La fuerza por unidad de área ejercida sobre el cilindro es
dónde es la función de Bessel modificada del primer tipo.
Cilindro deslizante
La solución exacta también está disponible cuando el cilindro comienza a deslizarse en la dirección axial con velocidad constante . Si consideramos que el eje del cilindro está en dirección, entonces la solución viene dada por
Ver también
Referencias
- ^ Stewartson, KT (1951). Sobre el movimiento impulsivo de una placa plana en un fluido viscoso. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 4 (2), 182-198.
- ↑ Batchelor, George Keith. Introducción a la dinámica de fluidos. Prensa de la universidad de Cambridge, 2000.
- ^ Lagerstrom, Paco Axel. Teoría del flujo laminar. Prensa de la Universidad de Princeton, 1996.
- ^ Acheson, David J. Dinámica de fluidos elemental. Prensa de la Universidad de Oxford, 1990.
- ^ Dryden, Hugh L., Francis D. Murnaghan y Harry Bateman. Hidrodinámica. Nueva York: publicaciones de Dover, 1956.