En matemáticas, la función de error (también llamada función de error de Gauss ), a menudo denotada por erf , es una función compleja de una variable compleja definida como: [1]
Esta integral es una función sigmoidea especial (no elemental ) que ocurre a menudo en probabilidad , estadística y ecuaciones diferenciales parciales . En muchas de estas aplicaciones, el argumento de la función es un número real. Si el argumento de la función es real, entonces el valor de la función también es real.
En estadística, para valores no negativos de x , la función de error tiene la siguiente interpretación: para una variable aleatoria Y que se distribuye normalmente con media 0 y varianza 1/2, erf x es la probabilidad de que Y caiga en el rango [- x , x ] .
Dos funciones estrechamente relacionadas son la función de error complementario ( erfc ) definida como
y la función de error imaginario ( erfi ) definida como
donde i es la unidad imaginaria .
Nombre
El nombre "función de error" y su abreviatura erf fueron propuestos por JWL Glaisher en 1871 debido a su conexión con "la teoría de la probabilidad y, en particular, la teoría de los errores ". [2] Glaisher también analizó el complemento de la función de error en una publicación separada ese mismo año. [3] Para la "ley de facilidad" de los errores cuya densidad está dada por
(la distribución normal ), Glaisher calcula la posibilidad de que se produzca un error entre y como:
Aplicaciones
Cuando los resultados de una serie de mediciones se describen mediante una distribución normal con desviación estándar y el valor esperado 0, entonceses la probabilidad de que el error de un solo mentiras de medición entre - una y + una , por positiva una . Esto es útil, por ejemplo, para determinar la tasa de errores de bits de un sistema de comunicación digital.
Las funciones de error y error complementario ocurren, por ejemplo, en soluciones de la ecuación de calor cuando las condiciones de contorno están dadas por la función escalón de Heaviside .
La función de error y sus aproximaciones se pueden utilizar para estimar resultados que se mantienen con alta probabilidad o con baja probabilidad. Dada una variable aleatoria y constante :
donde A y B son ciertas constantes numéricas. Si L está lo suficientemente lejos de la media, es decir, luego:
por lo que la probabilidad va a 0 cuando .
Propiedades
La propiedad significa que la función de error es una función impar . Esto resulta directamente del hecho de que el integrandoes una función par .
Para cualquier número complejo z :
dónde es el complejo conjugado de z .
El integrando f = exp (- z 2 ) y f = erf ( z ) se muestran en el plano z complejo en las figuras 2 y 3. El nivel de Im ( f ) = 0 se muestra con una línea verde gruesa. Los valores enteros negativos de Im ( f ) se muestran con líneas rojas gruesas. Los valores enteros positivos de Im ( f ) se muestran con líneas azules gruesas. Los niveles intermedios de Im ( f ) = constante se muestran con líneas finas de color verde. Los niveles intermedios de Re ( f ) = constante se muestran con líneas rojas finas para valores negativos y líneas azules finas para valores positivos.
La función de error en + ∞ es exactamente 1 (ver integral gaussiana ). En el eje real, erf ( z ) se acerca a la unidad en z → + ∞ y −1 en z → −∞. En el eje imaginario, tiende a ± i ∞.
Serie de taylor
La función de error es una función completa ; no tiene singularidades (excepto que en el infinito) y su expansión de Taylor siempre converge, pero es conocida "[...] por su mala convergencia si x> 1". [4]
La integral definitoria no puede evaluarse en forma cerrada en términos de funciones elementales , pero al expandir el integrando e - z 2 en su serie de Maclaurin e integrar término por término, se obtiene la serie de Maclaurin de la función de error como:
que es válido para cada número complejo z . Los términos del denominador son la secuencia A007680 en el OEIS .
Para el cálculo iterativo de la serie anterior, la siguiente formulación alternativa puede ser útil:
porque expresa el multiplicador para convertir el k- ésimo término en el ( k + 1) st término (considerando z como el primer término).
La función de error imaginario tiene una serie de Maclaurin muy similar, que es:
que es válido para cada número complejo z .
Derivada e integral
La derivada de la función de error se deriva inmediatamente de su definición:
A partir de esto, la derivada de la función de error imaginario también es inmediata:
Una antiderivada de la función de error, obtenible por integración por partes , es
Una antiderivada de la función de error imaginario, también obtenible por integración por partes, es
Las derivadas de orden superior están dadas por
dónde son los polinomios de Hermite de los físicos . [5]
Serie Bürmann
Una expansión, [6] que converge más rápidamente para todos los valores reales deque una expansión de Taylor, se obtiene utilizando el teorema de Hans Heinrich Bürmann : [7]
(es la función de signo .) Manteniendo solo los dos primeros coeficientes y eligiendo y la aproximación resultante muestra su mayor error relativo en donde es menor que :
Funciones inversas
Dado un número complejo z , no hay un número complejo único w que satisfaga, por lo que una verdadera función inversa tendría varios valores. Sin embargo, para −1 < x <1 , hay un número real único denotado satisfactorio
La función de error inverso generalmente se define con el dominio (−1,1) y está restringida a este dominio en muchos sistemas de álgebra computacional. Sin embargo, se puede extender al disco | z | <1 del plano complejo, utilizando la serie de Maclaurin
donde c 0 = 1 y
Entonces tenemos la expansión de la serie (los factores comunes se han cancelado de numeradores y denominadores):
(Después de la cancelación, las fracciones del numerador / denominador son entradas OEIS : A092676 / OEIS : A092677 en la OEIS ; sin cancelación, los términos del numerador se dan en la entrada OEIS : A002067 .) El valor de la función de error en ± ∞ es igual a ± 1.
Para | z | <1 , tenemos.
La función de error complementario inverso se define como
Para x real , hay un número real único satisfactorio . La función de error imaginario inverso se define como. [8]
Para cualquier x real , el método de Newton se puede utilizar para calcular, y para , converge la siguiente serie de Maclaurin:
donde c k se define como arriba.
Expansión asintótica
Una expansión asintótica útil de la función de error complementaria (y por lo tanto también de la función de error) para x real grande es
donde (2 n - 1) !! es el factorial doble de (2 n - 1), que es el producto de todos los números impares hasta (2 n - 1). Esta serie diverge para cada x finito , y su significado como expansión asintótica es que, para cualquier uno tiene
donde el resto, en notación Landau , es
como
De hecho, el valor exacto del resto es
que sigue fácilmente por inducción, escritura
e integrando por partes.
Para valores suficientemente grandes de x, solo se necesitan los primeros términos de esta expansión asintótica para obtener una buena aproximación de erfc ( x ) (mientras que para valores no demasiado grandes de x , la expansión de Taylor anterior en 0 proporciona una convergencia muy rápida) .
Expansión continua de la fracción
Una expansión de fracción continua de la función de error complementario es: [9]
Integral de la función de error con la función de densidad gaussiana
que aparece relacionado con Ng y Geller, fórmula 13 en la sección 4.3 [10] con un cambio de variables.
Serie factorial
- La serie factorial inversa :
- converge para Aquí
- denota el factorial ascendente , y denota un número de Stirling firmado del primer tipo . [11] [12]
- Representación mediante una suma infinita que contiene el factorial doble :
Aproximaciones numéricas
Aproximación con funciones elementales
- Abramowitz y Stegun dan varias aproximaciones de precisión variable (ecuaciones 7.1.25-28). Esto permite elegir la aproximación más rápida adecuada para una aplicación determinada. En orden de precisión creciente, son:
- (error máximo: 5 × 10 −4 )
- donde a 1 = 0.278393, a 2 = 0.230389, a 3 = 0.000972, a 4 = 0.078108
- (error máximo: 2,5 × 10 −5 )
- donde p = 0.47047, a 1 = 0.3480242, a 2 = −0.0958798, a 3 = 0.7478556
- (error máximo: 3 × 10 −7 )
- donde a 1 = 0.0705230784, a 2 = 0.0422820123, a 3 = 0.0092705272, a 4 = 0.0001520143, a 5 = 0.0002765672, a 6 = 0.0000430638
- (error máximo: 1,5 × 10 −7 )
- donde p = 0.3275911, a 1 = 0.254829592, a 2 = −0.284496736, a 3 = 1.421413741, a 4 = −1.453152027, a 5 = 1.061405429
- Todas estas aproximaciones son válidas para x ≥ 0. Para usar estas aproximaciones para x negativo , use el hecho de que erf (x) es una función impar, entonces erf ( x ) = −erf (- x ).
- Los límites exponenciales y una aproximación exponencial pura para la función de error complementario están dados por [13]
- Lo anterior se ha generalizado a sumas de exponenciales [14] con una precisión creciente en términos de así que eso puede ser aproximado o acotado con precisión por , dónde
- En particular, existe una metodología sistemática para resolver los coeficientes numéricos que producen una aproximación minimax o un límite para la función Q estrechamente relacionada : , , o por . Los coeficientes para muchas variaciones de las aproximaciones exponenciales y límites hasta se han lanzado al acceso abierto como un conjunto de datos completo. [15]
- Una aproximación ajustada de la función de error complementaria para es dada por Karagiannidis & Lioumpas (2007) [16] quienes mostraron para la elección apropiada de parámetros que
- Ellos determinaron que dio una buena aproximación para todos . También se encuentran disponibles coeficientes alternativos para adaptar la precisión a una aplicación específica o transformar la expresión en un límite estricto. [17]
- Un límite inferior de un solo término es [18]
- donde se puede elegir el parámetro β para minimizar el error en el intervalo de aproximación deseado.
- Sergei Winitzki da otra aproximación usando sus "aproximaciones globales de Padé": [19] [20] : 2–3
- dónde
- Esto está diseñado para ser muy preciso en una vecindad de 0 y una vecindad de infinito, y el error relativo es menor que 0,00035 para todo x real . El uso del valor alternativo a ≈ 0,147 reduce el error relativo máximo a aproximadamente 0,00013. [21]
- Esta aproximación se puede invertir para obtener una aproximación de la función de error inverso:
Polinomio
Una aproximación con un error máximo de porque cualquier argumento real es: [22]
con
y
Tabla de valores
X | erf (x) | 1-erf (x) |
---|---|---|
0 | 0 | 1 |
0,02 | 0,022 564 575 | 0,977 435 425 |
0,04 | 0,045 111 106 | 0,954 888 894 |
0,06 | 0,067 621 594 | 0,932 378 406 |
0,08 | 0,090 078 126 | 0,909 921 874 |
0,1 | 0,112 462 916 | 0,887 537 084 |
0,2 | 0,222 702 589 | 0,777 297 411 |
0,3 | 0,328 626 759 | 0,671 373 241 |
0.4 | 0,428 392 355 | 0,571 607 645 |
0,5 | 0,520 499 878 | 0,479 500 122 |
0,6 | 0,603 856 091 | 0,396 143 909 |
0,7 | 0,677 801 194 | 0,322 198 806 |
0,8 | 0,742 100 965 | 0,257 899 035 |
0,9 | 0,796 908 212 | 0,203 091 788 |
1 | 0,842 700 793 | 0,157 299 207 |
1.1 | 0,880 205 07 | 0,119 794 93 |
1.2 | 0,910 313 978 | 0,089 686 022 |
1.3 | 0,934 007 945 | 0,065 992 055 |
1.4 | 0,952 285 12 | 0,047 714 88 |
1,5 | 0,966 105 146 | 0,033 894 854 |
1,6 | 0,976 348 383 | 0,023 651 617 |
1,7 | 0,983 790 459 | 0,016 209 541 |
1.8 | 0,989 090 502 | 0,010 909 498 |
1,9 | 0,992 790 429 | 0,007 209 571 |
2 | 0,995 322 265 | 0,004 677 735 |
2.1 | 0,997 020 533 | 0,002 979 467 |
2.2 | 0,998 137 154 | 0,001 862 846 |
2.3 | 0,998 856 823 | 0,001 143 177 |
2.4 | 0,999 311 486 | 0,000 688 514 |
2.5 | 0,999 593 048 | 0,000 406 952 |
3 | 0,999 977 91 | 0,000 022 09 |
3,5 | 0,999 999 257 | 0,000 000 743 |
Funciones relacionadas
Función de error complementaria
La función de error complementaria , denotada, Se define como
que también define , la función de error complementario escalado [23] (que se puede utilizar en lugar de erfc para evitar el subdesbordamiento aritmético [23] [24] ). Otra forma de para no negativo se conoce como la fórmula de Craig, en honor a su descubridor: [25]
Esta expresión es válida solo para valores positivos de x , pero se puede usar junto con erfc ( x ) = 2 - erfc (- x ) para obtener erfc ( x ) para valores negativos. Esta forma es ventajosa porque el rango de integración es fijo y finito. Una extensión de esta expresión para elde la suma de dos variables no negativas es la siguiente: [26]
Función de error imaginario
La función de error imaginario , denominada erfi , se define como
donde D ( x ) es la función de Dawson (que se puede utilizar en lugar de erfi para evitar el desbordamiento aritmético [23] ).
A pesar del nombre "función de error imaginario", es real cuando x es real.
Cuando la función de error se evalúa para argumentos complejos arbitrarios z , la función de error compleja resultante generalmente se analiza en forma escalada como la función de Faddeeva :
Función de distribución acumulativa
La función de error es esencialmente idéntica a la función de distribución acumulativa normal estándar , denotada Φ, también denominada norma ( x ) por algunos lenguajes de software [ cita requerida ] , ya que difieren solo por escalado y traducción. En efecto,
o reorganizado para erf y erfc:
En consecuencia, la función de error también está estrechamente relacionada con la función Q , que es la probabilidad de cola de la distribución normal estándar. La función Q se puede expresar en términos de la función de error como
El inverso dese conoce como función cuantil normal , o función probit y puede expresarse en términos de la función de error inverso como
La CDF normal estándar se usa con más frecuencia en probabilidad y estadística, y la función de error se usa con más frecuencia en otras ramas de las matemáticas.
La función de error es un caso especial de la función de Mittag-Leffler , y también se puede expresar como una función hipergeométrica confluente ( función de Kummer):
Tiene una expresión simple en términos de la integral de Fresnel . [ se necesita más explicación ]
En términos de la función gamma regularizada P y la función gamma incompleta ,
es la función de signo .
Funciones de error generalizadas
Algunos autores discuten las funciones más generales: [ cita requerida ]
Los casos notables son:
- E 0 ( x ) es una línea recta que pasa por el origen:
- E 2 ( x ) es la función de error, erf ( x ).
Después de la división por n !, Todos los E n para n impares se ven similares (pero no idénticos) entre sí. De manera similar, los E n para incluso n se ven similares (pero no idénticos) entre sí después de una simple división por n ! Todas las funciones de error generalizadas para n > 0 se ven similares en el lado x positivo del gráfico.
Estas funciones generalizadas se pueden expresar de manera equivalente para x > 0 usando la función gamma y la función gamma incompleta :
Por lo tanto, podemos definir la función de error en términos de la función Gamma incompleta:
Integrales iteradas de la función de error complementario
Las integrales iteradas de la función de error complementario se definen mediante [27]
La fórmula de recurrencia general es
Tienen la serie de poder
de donde se derivan las propiedades de simetría
y
Implementaciones
Como función real de un argumento real
- En los sistemas operativos compatibles con Posix , el encabezado math.h deberá declarar y la biblioteca matemática libm proporcionará las funciones erf y erfc ( precisión doble ) así como sus contrapartes de precisión simple y precisión extendida erff , erfl y erfc , erfcl . [28]
- La biblioteca científica GNU proporciona funciones de error erf , erfc , log (erf) y escalado. [29]
Como función compleja de un argumento complejo
- libcerf , biblioteca C numérica para funciones de error complejas, proporciona las funciones complejas cerf , cerfc , cerfcx y las funciones reales erfi , erfcx con una precisión de aproximadamente 13-14 dígitos, basada en la función Faddeeva implementada en el paquete MIT Faddeeva
Ver también
Funciones relacionadas
- Integral gaussiana , sobre toda la línea real
- Función gaussiana , derivada
- Función de Dawson , función de error imaginario renormalizada
- Integral de Goodwin-Staton
En probabilidad
- Distribución normal
- Función de distribución acumulativa normal , una forma de función de error escalada y desplazada
- Probit , la función inversa o cuantílica de la CDF normal
- Función Q , la probabilidad de cola de la distribución normal
Referencias
- ^ Andrews, Larry C. (1998). Funciones especiales de las matemáticas para ingenieros . SPIE Press. pag. 110. ISBN 9780819426161.
- ^ Glaisher, James Whitbread Lee (julio de 1871). "Sobre una clase de integrales definidas" . Revista Filosófica y Revista de Ciencia de Londres, Edimburgo y Dublín . 4. 42 (277): 294-302. doi : 10.1080 / 14786447108640568 . Consultado el 6 de diciembre de 2017 .
- ^ Glaisher, James Whitbread Lee (septiembre de 1871). "Sobre una clase de integrales definidas. Parte II" . Revista Filosófica y Revista de Ciencia de Londres, Edimburgo y Dublín . 4. 42 (279): 421–436. doi : 10.1080 / 14786447108640600 . Consultado el 6 de diciembre de 2017 .
- ^ "A007680 - OEIS" . oeis.org . Consultado el 2 de abril de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Erf" . MathWorld . Wolfram.
- ^ HM Schöpf y PH Supancic, "Sobre el teorema de Bürmann y su aplicación a problemas de difusión y transferencia de calor lineal y no lineal", The Mathematica Journal, 2014. doi: 10.3888 / tmj.16-11. Schöpf, Supancic
- ^ Weisstein, EW "Teorema de Bürmann" . Wolfram MathWorld: un recurso web de Wolfram .
- ^ Bergsma, Wicher (2006). "Sobre un nuevo coeficiente de correlación, su descomposición ortogonal y pruebas de independencia asociadas". arXiv : matemáticas / 0604627 .
- ^ Cuyt, Annie AM ; Petersen, Vigdis B .; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008). Manual de fracciones continuas para funciones especiales . Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-6948-2.
- ^ Ng, Edward W .; Geller, Murray (enero de 1969). "Una tabla de integrales de las funciones de Error". Revista de Investigación de la Oficina Nacional de Normalización Sección B . 73B (1): 1. doi : 10.6028 / jres.073B.001 .
- ^ Schlömilch, Oskar Xavier (1859). "Ueber facultätenreihen" . Zeitschrift für Mathematik und Physik (en alemán). 4 : 390–415 . Consultado el 4 de diciembre de 2017 .
- ^ Eq (3) en la página 283 de Nielson, Niels (1906). Handbuch der Theorie der Gammafunktion (en alemán). Leipzig: BG Teubner . Consultado el 4 de diciembre de 2017 .
- ^ Chiani, M .; Dardari, D .; Simon, MK (2003). "Nuevos límites exponenciales y aproximaciones para el cálculo de la probabilidad de error en canales de desvanecimiento" (PDF) . Transacciones IEEE sobre comunicaciones inalámbricas . 2 (4): 840–845. CiteSeerX 10.1.1.190.6761 . doi : 10.1109 / TWC.2003.814350 .
- ^ Tanash, MI; Riihonen, T. (2020). "Aproximaciones minimax globales y límites para la función Q gaussiana por sumas de exponenciales". Transacciones IEEE sobre comunicaciones . 68 (10): 6514–6524. arXiv : 2007.06939 . doi : 10.1109 / TCOMM.2020.3006902 . S2CID 220514754 .
- ^ Tanash, MI; Riihonen, T. (2020). "Coeficientes para aproximaciones de Minimax global y límites para la función Q gaussiana por sumas de exponenciales [conjunto de datos]" . Zenodo . doi : 10.5281 / zenodo.4112978 .
- ^ Karagiannidis, GK y Lioumpas, AS Una aproximación mejorada para la función Q gaussiana . 2007. IEEE Communications Letters, 11 (8), págs. 644-646.
- ^ Tanash, MI; Riihonen, T. (2021). "Coeficientes mejorados para las aproximaciones Karagiannidis-Lioumpas y límites a la función Q de Gauss". Cartas de comunicaciones de IEEE . 25 . arXiv : 2101.07631 . doi : 10.1109 / LCOMM.2021.3052257 .
- ^ Chang, Seok-Ho; Cosman, Pamela C .; Milstein, Laurence B. (noviembre de 2011). "Límites de tipo Chernoff para la función de error gaussiano" . Transacciones IEEE sobre comunicaciones . 59 (11): 2939-2944. doi : 10.1109 / TCOMM.2011.072011.100049 . S2CID 13636638 .
- ^ Winitzki, Serge (2003). "Aproximaciones uniformes para funciones trascendentales" . Notas de conferencias en informática. Sci . Apuntes de conferencias en Ciencias de la Computación. 2667 . Spronger, Berlín. págs. 780–789 . doi : 10.1007 / 3-540-44839-X_82 . ISBN 978-3-540-40155-1.(Sección 3.1 "Función de error del argumento real erf x ")
- ^ Zeng, Caibin; Chen, Yang Cuan (2015). "Aproximaciones de Padé global de la función de Mittag-Leffler generalizada y su inversa". Cálculo fraccional y análisis aplicado . 18 (6): 1492–1506. arXiv : 1310.5592 . doi : 10.1515 / fca-2015-0086 . S2CID 118148950 .
De hecho, Winitzki [32] proporcionó la llamada aproximación global de Padé
- ^ Winitzki, Sergei (6 de febrero de 2008). "Una práctica aproximación de la función de error y su inversa". Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Recetas numéricas en Fortran 77: El arte de la informática científica ( ISBN 0-521-43064-X ), 1992, página 214, Cambridge University Press.
- ^ a b c Cody, WJ (marzo de 1993), "Algoritmo 715: SPECFUN — Un paquete FORTRAN portátil de rutinas de funciones especiales y controladores de prueba" (PDF) , ACM Trans. Matemáticas. Softw. , 19 (1): 22–32, CiteSeerX 10.1.1.643.4394 , doi : 10.1145 / 151271.151273 , S2CID 5621105
- ^ Zaghloul, MR (1 de marzo de 2007), "Sobre el cálculo del perfil de línea de Voigt: una única integral propia con un integrando de seno amortiguado" , Avisos mensuales de la Royal Astronomical Society , 375 (3): 1043-1048, doi : 10.1111 /j.1365-2966.2006.11377.x , archivado desde el original el 6 de enero de 2015
- ^ John W. Craig, un resultado nuevo, simple y exacta para el cálculo de la probabilidad de error de constelaciones de señales bidimensionales archivados 3 abril de 2012 a la Wayback Machine , Actas de la Conferencia de comunicaciones militares IEEE 1991, vol. 2, págs. 571–575.
- ^ Behnad, Aydin (2020). "Una nueva extensión de la fórmula de función Q de Craig y su aplicación en el análisis de rendimiento de EGC de doble rama". Transacciones IEEE sobre comunicaciones . 68 (7): 4117–4125. doi : 10.1109 / TCOMM.2020.2986209 . S2CID 216500014 .
- ^ Carslaw, HS ; Jaeger, JC (1959), Conducción de calor en sólidos (2a ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9, pág. 484
- ^ https://pubs.opengroup.org/onlinepubs/9699919799/basedefs/math.h.html
- ^ https://www.gnu.org/software/gsl/doc/html/specfunc.html#error-functions
Otras lecturas
- Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 7" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 297. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 .
- Prensa, William H .; Teukolsky, Saul A .; Vetterling, William T .; Flannery, Brian P. (2007), "Sección 6.2. Función gamma incompleta y función de error" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
- Temme, Nico M. (2010), "Funciones de error, integrales de Dawson y Fresnel" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
enlaces externos
- MathWorld - Erf
- Una tabla de integrales de las funciones de error