En matemáticas, el teorema de Budan es un teorema para acotar el número de raíces reales de un polinomio en un intervalo y calcular la paridad de este número. Fue publicado en 1807 por François Budan de Boislaurent .
Un teorema similar fue publicado independientemente por Joseph Fourier en 1820. Cada uno de estos teoremas es un corolario del otro. La afirmación de Fourier aparece con más frecuencia en la literatura del siglo XIX y se la conoce como teorema de Fourier , Budan-Fourier , Fourier-Budan e incluso Budan.
La formulación original de Budan se utiliza en algoritmos modernos y rápidos para el aislamiento de raíces reales de polinomios.
Variación de signo
Dejar ser una secuencia finita de números reales. Una variación de signo o cambio de signo en la secuencia es un par de índices i < j tal quey j = i + 1 opara todo k tal que i < k < j .
En otras palabras, se produce una variación de signo en la secuencia en cada lugar donde cambian los signos, al ignorar los ceros.
Para estudiar las raíces reales de un polinomio, se puede usar el número de variaciones de signo de varias secuencias. Para el teorema de Budan, es la secuencia de los coeficientes. Para el teorema de Budan-Fourier , es la secuencia de valores de las derivadas sucesivas en un punto. Para el teorema de Sturm, es la secuencia de valores en un punto de la secuencia de Sturm .
La regla de los signos de Descartes
Todos los resultados descritos en este artículo se basan en la regla de los signos de Descartes.
Si p ( x ) es un polinomio univariado con coeficientes reales, denotemos por # + ( p ) el número de sus raíces reales positivas, contadas con su multiplicidad, [1] y por v ( p ) el número de variaciones de signo en la secuencia de sus coeficientes. La regla de los signos de Descartes afirma que
- v ( p ) - # + ( p ) es un número entero par no negativo.
En particular, si v ( p ) ≤ 1 , entonces uno tiene # + ( p ) = v ( p ) .
Declaración de Budan
Dado un polinomio univariado p ( x ) con coeficientes reales, denotemos por # ( ℓ , r ] ( p ) el número de raíces reales, contadas con sus multiplicidades, [1] de p en un intervalo semiabierto ( ℓ , r ] (con ℓ < r números reales). Denotemos también por v h ( p ) el número de variaciones de signo en la secuencia de los coeficientes del polinomio p h ( x ) = p ( x + h ) . En particular , se tiene v ( p ) = v 0 ( p ) con la notación de la sección anterior.
El teorema de Budan es el siguiente:
- es un número entero par no negativo.
Como no es negativo, esto implica
Esta es una generalización de la regla de signos de Descartes, ya que, si se elige r suficientemente grande, es más grande que todas las raíces reales de p , y todos los coeficientes de son positivos, es decir Por lo tanto y lo que convierte a la regla de signos de Descartes en un caso especial del teorema de Budan.
En cuanto a la regla de los signos de Descartes, si uno tiene Esto significa que, si uno tiene una "prueba de raíz cero" y una "prueba de una raíz".
Ejemplos de
1. Dado el polinomio y el intervalo abierto , uno tiene
Por lo tanto, y el teorema de Budan afirma que el polinomio tiene dos o cero raíces reales en el intervalo abierto
2. Con el mismo polinomio uno tiene
Por lo tanto, y el teorema de Budan afirma que el polinomio no tiene raíz real en el intervalo abierto Este es un ejemplo del uso del teorema de Budan como prueba de raíz cero.
Declaración de Fourier
El teorema de Fourier en las raíces reales de polinomios , también llamados teorema de Fourier-Budan o teorema Budan-Fourier (a veces sólo teorema de Budan ) es exactamente el mismo que el teorema de Budan, excepto que, para h = l y r , la secuencia de los coeficientes de p ( x + h ) se reemplaza por la secuencia de las derivadas de p en h .
Cada teorema es un corolario del otro. Esto es el resultado de la expansión de Taylor.
del polinomio p en h , lo que implica que el coeficiente de x i en p ( x + h ) es el cociente depor yo ! , un número positivo. Así, las secuencias consideradas en el teorema de Fourier y en el teorema de Budan tienen el mismo número de variaciones de signo.
Esta fuerte relación entre los dos teoremas puede explicar la controversia de prioridad que se produjo en el siglo XIX y el uso de varios nombres para el mismo teorema. En el uso moderno, para el cálculo por computadora, generalmente se prefiere el teorema de Budan ya que las secuencias tienen coeficientes mucho más grandes en el teorema de Fourier que en el de Budan, debido al factor factorial.
Prueba
Como cada teorema es un corolario del otro, basta para probar el teorema de Fourier.
Por lo tanto, considerar un polinomio p ( x ) , y un intervalo ( l , r ] . Cuando el valor de x aumenta desde l a r , el número de variaciones de signo en la secuencia de los derivados de p puede cambiar sólo cuando el valor de x pasa por una raíz de p o una de sus derivadas.
Denotemos por f el polinomio p o cualquiera de sus derivados. Para cualquier raíz h de multiplicidad m de f , este polinomio está bien aproximado cerca de h porpor alguna constante a . Además, para i = 1, ..., m , su i- ésima derivada se aproxima porDe ello se deduce que, en la secuencia formada por f y sus m primeras derivadas, hay m variaciones de signo para x < h y cero para x ≥ h .
Esto muestra que, cuando x aumenta y pasa por una raíz de p de multiplicidad m , entonces el número de variaciones de signo en la secuencia de la derivada disminuye en m .
Ahora, para i > 0 , sea h una raíz de la i- ésima derivadade p , que no es una raíz deHay dos casos a considerar. Si la multiplicidad m de la raíz h es par, entonces y mantener un signo constante cuando x pase por h . Esto implica que el número de signo de variación en la secuencia de derivadas disminuye en el número par m . Por otro lado, si m es impar,cambios de signo en h , mientrasno es. Por tanto, hay variaciones de signo m + 1 . Por lo tanto, cuando x pasan a través de h , el número de señal de disminución variación cualquiera de m o m + 1 , que son los números pares negativos en cada caso.
Historia
El problema de contar y localizar las raíces reales de un polinomio comenzó a estudiarse sistemáticamente solo a principios del siglo XIX.
En 1807, François Budan de Boislaurent descubrió un método para extender la regla de los signos de Descartes, válida para el intervalo (0, + ∞), a cualquier intervalo. [2]
Joseph Fourier publicó un teorema similar en 1820, [3] en el que trabajó durante más de veinte años. [4]
Debido a la similitud entre los dos teoremas, hubo una controversia de prioridad, [5] [6] a pesar de que los dos teoremas se descubrieron de forma independiente. [4] En general, fue la formulación y la demostración de Fourier las que se utilizaron, durante el siglo XIX, en los libros de texto sobre teoría de ecuaciones .
Uso en el siglo XIX.
Los teoremas de Budan y Fourier pronto se consideraron de gran importancia, aunque no resuelven completamente el problema de contar el número de raíces reales de un polinomio en un intervalo. Este problema fue resuelto por completo en 1827 por Sturm .
Aunque el teorema de Sturm no se basa en la regla de los signos de Descartes , los teoremas de Sturm y Fourier están relacionados no solo por el uso del número de variaciones de signo de una secuencia de números, sino también por un enfoque similar del problema. El propio Sturm reconoció haberse inspirado en los métodos de Fourier: [7] «C'est en m'appuyant sur les principes qu'il a posés, et en imitant ses démonstrations, que j'ai trouvé les nouveaux théorèmes que je vais énoncer. » Que se traduce en « Es apoyándome en los principios que ha establecido e imitando sus demostraciones que he encontrado los nuevos teoremas que estoy a punto de presentar. »
Debido a esto, durante el siglo XIX, los teoremas de Fourier y Sturm aparecieron juntos en casi todos los libros sobre teoría de ecuaciones.
Fourier y Budan dejaron abierto el problema de reducir el tamaño de los intervalos en los que se buscan raíces de manera que, eventualmente, la diferencia entre el número de variaciones de signo sea como máximo uno, permitiendo certificar que los intervalos finales contienen como máximo una raíz. cada. Este problema fue resuelto en 1834 por Alexandre Joseph Hidulph Vincent. [8] En términos generales, el teorema de Vincent consiste en usar fracciones continuas para reemplazar las transformaciones lineales de Budan de la variable por transformaciones de Möbius .
El teorema de Budan, Fourier y Vincent se hundió en el olvido a finales del siglo XIX. El último autor que menciona estos teoremas antes de la segunda mitad del siglo XX es Joseph Alfred Serret . [9] Fueron introducidos nuevamente en 1976 por Collins y Akritas, por proporcionar, en álgebra computacional , un algoritmo eficiente para el aislamiento de raíces reales en computadoras. [10]
Ver también
Referencias
- ^ a b Esto significa que una raíz de multiplicidad m se cuenta como m raíces.
- ↑ Budan, François D. (1807). Nouvelle méthode pour la résolution des équations numériques . París: Courcier.
- ^ Fourier, Jean Baptiste Joseph (1820). "Sur l'usage du théorème de Descartes dans la recherche des limites des racines" . Bulletin des Sciences, par la Société Philomatique de Paris : 156–165.
- ^ a b Arago, François (1859), Biografías de científicos distinguidos , Boston: Ticknor and Fields (traducción al inglés), p. 383
- ^ Akritas, Alkiviadis G. (1981). "Sobre la controversia Budan-Fourier". Boletín ACM SIGSAM . 15 (1): 8-10. doi : 10.1145 / 1089242.1089243 .
- ^ Akritas, Alkiviadis G. (1982). "Reflexiones sobre un par de teoremas de Budan y Fourier". Revista de Matemáticas . 55 (5): 292-298. doi : 10.2307 / 2690097 . JSTOR 2690097 .
- ^ Hourya, Benis-Sinaceur (1988). "Deux moment dans l'histoire du Théorème d'algèbre de Ch. F. Sturm" . Revue d'histoire des sciences . 41 (2): 108.
- ^ Vincent, Alexandre Joseph Hidulph (1834). "Mémoire sur la résolution des équations numériques" . Mémoires de la Société Royale des Sciences, de l 'Agriculture et des Arts, de Lille : 1–34.
- ^ Serret, Joseph A. (1877). Cours d'algèbre supérieure. Tomo I . Gauthier-Villars. págs. 363–368.
- ^ Collins, GE ; Akritas, AG (1976). Aislamiento polinomial de la raíz real utilizando la regla de signos de Descarte . Actas del simposio ACM de 1976 sobre Computación Algebraica y Simbólica. págs. 272-275.
enlaces externos
O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Budan de Boislaurent" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews