En matemáticas , un polinomio univariado de grado n con coeficientes reales o complejos tiene n raíces complejas , si se cuenta con sus multiplicidades . Forman un conjunto de n puntos en el plano complejo . Este artículo se refiere a la geometría de estos puntos, es decir, la información sobre su localización en el plano complejo que se puede deducir del grado y los coeficientes del polinomio.
Algunas de estas propiedades geométricas están relacionadas con un solo polinomio, como los límites superiores de los valores absolutos de las raíces, que definen un disco que contiene todas las raíces, o los límites inferiores de la distancia entre dos raíces. Dichos límites se utilizan ampliamente para algoritmos de búsqueda de raíces para polinomios, ya sea para ajustarlos o para calcular su complejidad computacional.
Algunas otras propiedades son probabilísticas, como el número esperado de raíces reales de un polinomio aleatorio de grado n con coeficientes reales, que es menor quepara n suficientemente grande.
En este artículo, un polinomio que se considera siempre se denota
dónde son números reales o complejos y ; por tanto, n es el grado del polinomio.
Dependencia continua de los coeficientes
Las n raíces de un polinomio de grado n dependen continuamente de los coeficientes. Para raíces simples, esto resulta inmediatamente del teorema de la función implícita . Esto también es cierto para múltiples raíces, pero se necesita cierto cuidado para la prueba.
Un pequeño cambio de coeficientes puede inducir un cambio dramático de las raíces, incluido el cambio de una raíz real en una raíz compleja con una parte imaginaria bastante grande (ver polinomio de Wilkinson ). Una consecuencia es que, para los algoritmos numéricos clásicos de búsqueda de raíces , el problema de aproximar las raíces dados los coeficientes está mal condicionado .
Conjugación
El teorema de la raíz conjugada compleja establece que si los coeficientes de un polinomio son reales, entonces las raíces no reales aparecen en pares de la forma ( a + ib , a - ib ) .
De ello se deduce que las raíces de un polinomio con coeficientes reales son simétricas en espejo con respecto al eje real.
Esto se puede extender a la conjugación algebraica : las raíces de un polinomio con coeficientes racionales se conjugan (es decir, invariantes) bajo la acción del grupo de Galois del polinomio. Sin embargo, esta simetría rara vez se puede interpretar geométricamente.
Límites en todas las raíces
Los límites superiores de los valores absolutos de las raíces polinomiales se utilizan ampliamente para algoritmos de búsqueda de raíces , ya sea para limitar las regiones donde se deben buscar raíces o para el cálculo de la complejidad computacional de estos algoritmos.
Se han dado muchos de estos límites, y el más nítido depende generalmente de la secuencia específica de coeficientes que se consideran. La mayoría de los límites son mayores o iguales a uno y, por lo tanto, no son nítidos para un polinomio que solo tiene raíces de valores absolutos inferiores a uno. Sin embargo, tales polinomios son muy raros, como se muestra a continuación.
Cualquier límite superior de los valores absolutos de las raíces proporciona un límite inferior correspondiente. De hecho, siy U es un límite superior de los valores absolutos de las raíces de
entonces 1 / U es un límite inferior de los valores absolutos de
ya que las raíces de cualquiera de los polinomios son las inversas multiplicativas de las raíces del otro. Por lo tanto, en el resto del artículo los límites inferiores no se darán explícitamente .
Los límites de Lagrange y Cauchy
Lagrange y Cauchy fueron los primeros en proporcionar límites superiores en todas las raíces complejas. [1] El límite de Lagrange es [2]
y el límite de Cauchy es [3]
El límite de Lagrange es más agudo (más pequeño) que el límite de Cauchy solo cuando 1 es mayor que la suma de todos pero el más grande. Esto es relativamente raro en la práctica y explica por qué la cota de Cauchy se usa más ampliamente que la de Lagrange.
Ambos límites resultan del teorema del círculo de Gershgorin aplicado a la matriz compañera del polinomio y su transposición . También pueden probarse mediante métodos elementales.
Prueba de los límites de Lagrange y Cauchy |
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Si z es una raíz del polinomio y | z | ≥ 1 uno tiene Dividiendo por uno consigue que es el límite de Lagrange cuando hay al menos una raíz de valor absoluto mayor que 1. De lo contrario, 1 es un límite en las raíces y no es mayor que el límite de Lagrange. De manera similar, para el límite de Cauchy, uno tiene, si | z | ≥ 1 , Por lo tanto Resolviendo en | z | , se obtiene el límite de Cauchy si hay una raíz de valor absoluto mayor que 1. De lo contrario, el límite también es correcto, ya que el límite de Cauchy es mayor que 1. |
Estos límites no son invariantes por escala. Es decir, las raíces del polinomio p ( sx ) son el cociente entre s de la raíz de p , y los límites dados para las raíces de p ( sx ) no son el cociente entre s de los límites de p . Por lo tanto, se pueden obtener límites más nítidos minimizando las posibles escaladas. Esto da
y
para los límites de Lagrange y Cauchy respectivamente.
Otro límite, originalmente dado por Lagrange, pero atribuido a Zassenhaus por Donald Knuth , es [4]
Este límite es invariante por escala.
Prueba del encuadernado anterior |
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Sea A el más grandepara 0 ≤ i < n . Así uno tiene por Si z es una raíz de p , uno tiene y así, después de dividir por Como queremos demostrar | z | ≤ 2 A , podemos suponer que | z | > A (de lo contrario, no hay nada que probar). Por lo tanto que da el resultado, ya que |
Lagrange ha mejorado este último límite en la suma de los dos valores más grandes (posiblemente iguales) en la secuencia [4]
Lagrange proporcionó también el [ cita requerida ]
dónde denota el i- ésimo coeficiente distinto de cero cuando los términos de los polinomios se ordenan por grados crecientes.
Usando la desigualdad de Hölder
La desigualdad de Hölder permite la extensión de los límites de Lagrange y Cauchy a cada h -norm . La h -norm de una secuencia
es
para cualquier número real h ≥ 1 , y
Si con 1 ≤ h , k ≤ ∞ , y 1 / ∞ = 0 , un límite superior en los valores absolutos de las raíces de p es
Para k = 1 y k = ∞ , se obtienen respectivamente los límites de Cauchy y Lagrange.
Para h = k = 1/2 , uno tiene el límite
Esto no es solo una cota de los valores absolutos de las raíces, sino también una cota del producto de sus valores absolutos mayores que 1; ver § Desigualdad de Landau , más abajo.
Prueba |
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Sea z una raíz del polinomio Configuración tenemos que demostrar que cada raíz z de p satisface Si la desigualdad es verdadera; entonces, uno puede suponer para el resto de la prueba. Escribiendo la ecuación como la desigualdad de Hölder implica Si k = 1 , esto es Por lo tanto En el caso 1 < k ≤ ∞ , la fórmula de suma para una progresión geométrica , da Por lo tanto que simplifica a Así, en todos los casos que termina la prueba. |
Otros límites
Se han dado muchos otros límites superiores para las magnitudes de todas las raíces. [5]
Atado de Fujiwara [6]
mejora ligeramente un límite dado arriba dividiendo por dos el último argumento del máximo.
El límite de Kojima es [7] [ verificación necesaria ]
dónde denota el i- ésimo coeficiente distinto de cero cuando los términos de los polinomios se ordenan por grados crecientes. Si todos los coeficientes son distintos de cero, el límite de Fujiwara es más agudo, ya que cada elemento del límite de Fujiwara es la media geométrica de los primeros elementos del límite de Kojima.
Sun y Hsieh obtuvieron otra mejora en el salto de Cauchy. [8] Suponga que el polinomio es monico con el término general a i x i . Sun y Hsieh demostraron que los límites superiores 1 + d 1 y 1 + d 2 se pueden obtener a partir de las siguientes ecuaciones.
d 2 es la raíz positiva de la ecuación cúbica
También notaron que d 2 ≤ d 1 .
La desigualdad de Landau
Los límites anteriores son límites superiores para cada raíz por separado. La desigualdad de Landau proporciona un límite superior para los valores absolutos del producto de las raíces que tienen un valor absoluto mayor que uno. Esta desigualdad, descubierta en 1905 por Edmund Landau [9], ha sido olvidada y redescubierta al menos tres veces durante el siglo XX. [10] [11] [12]
Este límite del producto de raíces no es mucho mayor que los mejores límites precedentes de cada raíz por separado. [13] Dejaser las n raíces del polinomio p . Si
es la medida de Mahler de p , entonces
Sorprendentemente, este límite del producto de los valores absolutos mayores que 1 de las raíces no es mucho mayor que los mejores límites de una raíz que se han dado anteriormente para una sola raíz. Este límite es incluso exactamente igual a uno de los límites que se obtienen utilizando la desigualdad de Hölder .
Esta cota también es útil para citar los coeficientes de un divisor de un polinomio con coeficientes enteros: [14] si
es un divisor de p , entonces
y, según las fórmulas de Vieta ,
para i = 0, ..., m , dondees un coeficiente binomial . Por lo tanto
y
Discos que contienen algunas raíces
Del teorema de Rouché
El teorema de Rouché permite definir discos centrados en cero y que contienen un número determinado de raíces. Más precisamente, si hay un número real positivo R y un entero 0 ≤ k ≤ n tal que
entonces hay exactamente k raíces, contados con multiplicidad, de valor absoluto menor que R .
Prueba |
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Si luego Según el teorema de Rouché, esto implica directamente que y tienen el mismo número de raíces de valores absolutos menores que R , contados con multiplicidades. Como este número es k , se prueba el resultado. |
El resultado anterior se puede aplicar si el polinomio
toma un valor negativo para algún valor real positivo de x .
En el resto de la sección, supongamos que a 0 ≠ 0 . Si no es el caso, cero es una raíz, y la localización de las otras raíces se puede estudiar dividiendo el polinomio por una potencia del indeterminado, para obtener un polinomio con un término constante distinto de cero.
Para k = 0 y k = n , la regla de los signos de Descartes muestra que el polinomio tiene exactamente una raíz real positiva. Si y son estas raíces, el resultado anterior muestra que todas las raíces verifican
A estas desigualdades se aplican también a y estos límites son óptimos para polinomios con una secuencia dada de los valores absolutos de sus coeficientes. Por lo tanto, son más nítidos que todos los límites dados en las secciones anteriores.
Para 0 < k < n , la regla de los signos de Descartes implica quetiene dos raíces reales positivas que no son múltiples o no es negativa para cada valor positivo de x . Por lo tanto, el resultado anterior se puede aplicar solo en el primer caso. Si son estas dos raíces, el resultado anterior implica que
para k raíces de p , y que
para las otras raíces n - k .
En lugar de computar explícitamente y generalmente es suficiente calcular un valor tal que (necesariamente ). Estastienen la propiedad de separar raíces en términos de sus valores absolutos: si, para h < k , ambos y existen, hay exactamente k - h raíces z tales que
Para la informática uno puede usar eso es una función convexa (su segunda derivada es positiva). Por lo tanto existe si y solo si es negativo en su mínimo único. Para calcular este mínimo, se puede usar cualquier método de optimización o, alternativamente, el método de Newton para calcular el cero positivo único de la derivada de(converge rápidamente, ya que la derivada es una función monótona ).
Se puede aumentar el número de es aplicando la operación de cuadratura de la raíz de la iteración Dandelin-Graeffe . Si las raíces tienen valores absolutos distintos, eventualmente se pueden separar completamente las raíces en términos de sus valores absolutos, es decir, calcular n + 1 números positivos tal que hay exactamente una raíz con un valor absoluto en el intervalo abierto para k = 1, ..., n .
Del teorema del círculo de Gershgorin
El teorema del círculo de Gershgorin aplicó la matriz compañera del polinomio sobre una base relacionada con la interpolación de Lagrange que proporciona discos centrados en los puntos de interpolación y cada uno contiene una raíz del polinomio; consulte el método de Durand-Kerner § Inclusión de raíces a través de los círculos de Gerschgorin para más detalles.
Si los puntos de interpolación están cerca de las raíces de las raíces del polinomio, los radios de los discos son pequeños, y este es un ingrediente clave del método Durand-Kerner para calcular las raíces polinomiales.
Límites de raíces reales
Para polinomios con coeficientes reales, a menudo es útil delimitar solo las raíces reales. Basta con ligar las raíces positivas, ya que las raíces negativas de p ( x ) son las raíces positivas de p (- x ) .
Claramente, cada límite de todas las raíces se aplica también a las raíces reales. Pero en algunos contextos, son útiles los límites más estrictos de raíces reales. Por ejemplo, la eficacia del método de fracciones continuas para el aislamiento de raíces reales depende en gran medida de la rigidez de un límite de raíces positivas. Esto ha llevado a establecer nuevos límites más estrictos que los límites generales de todas las raíces. Estos límites generalmente se expresan no solo en términos de los valores absolutos de los coeficientes, sino también en términos de sus signos.
Otros límites se aplican solo a polinomios cuyas raíces son reales (ver más abajo).
Límites de raíces reales positivas
Para dar un límite de las raíces positivas, se puede suponer sin pérdida de generalidad, ya que cambiar los signos de todos los coeficientes no cambia las raíces.
Cada límite superior de las raíces positivas de
es también un límite para los ceros reales de
- .
De hecho, si B es tal límite, para todo x > B , uno tiene p ( x ) ≥ q ( x )> 0 .
Aplicado al límite de Cauchy, esto da al límite superior
para las raíces reales de un polinomio con coeficientes reales. Si este límite no es mayor que1 , esto significa que todos los coeficientes distintos de cero tienen el mismo signo y que no hay raíz positiva.
De manera similar, otro límite superior de las raíces positivas es
Si todos los coeficientes distintos de cero tienen el mismo signo, no hay raíz positiva y el máximo debe definirse como cero.
Recientemente se han desarrollado otros límites, principalmente por la necesidad del método de fracciones continuas para el aislamiento de raíces reales . [15] [16]
Polinomios cuyas raíces son todas reales
Si todas las raíces de un polinomio son reales, Laguerre demostró los siguientes límites superior e inferior de las raíces, utilizando lo que ahora se llama la desigualdad de Samuelson . [17]
Dejar ser un polinomio con todas las raíces reales. Entonces sus raíces se ubican en el intervalo con puntos finales.
Por ejemplo, las raíces del polinomio satisfacer
Separación de raíces
La separación de raíces de un polinomio es la distancia mínima entre dos raíces, que es el mínimo de los valores absolutos de la diferencia de dos raíces:
La separación de raíces es un parámetro fundamental de la complejidad computacional de los algoritmos de búsqueda de raíces para polinomios. De hecho, la separación de raíces determina la precisión de la representación numérica que se necesita para estar seguro de distinguir diferentes raíces. Además, para el aislamiento de raíces reales , permite delimitar el número de divisiones de intervalo que se necesitan para aislar todas las raíces.
Para polinomios con coeficientes reales o complejos no es posible expresar un límite inferior de la separación de raíces en términos del grado y los valores absolutos de los coeficientes únicamente, porque un pequeño cambio en un solo coeficiente transforma un polinomio con múltiples raíces en un cuadrado. -polinomio libre con una pequeña separación de raíces, y esencialmente los mismos valores absolutos del coeficiente. Sin embargo, la participación del discriminante del polinomio permite un límite inferior.
Para polinomios libres de cuadrados con coeficientes enteros, el discriminante es un número entero y, por lo tanto, tiene un valor absoluto que no es menor que 1 . Esto permite límites inferiores para la separación de raíces que son independientes del discriminante.
El límite de separación de Mignotte es [18] [19]
dónde es el discriminante, y
Para un polinomio cuadrado libre con coeficientes enteros, esto implica
donde s es el tamaño de bits de p , que es la suma del tamaño de bits de sus coeficientes.
Teorema de Gauss-Lucas
El teorema de Gauss-Lucas establece que el casco convexo de las raíces de un polinomio contiene las raíces de la derivada del polinomio.
Un corolario a veces útil es que, si todas las raíces de un polinomio tienen una parte real positiva, también las tienen las raíces de todas las derivadas del polinomio.
Un resultado relacionado es la desigualdad de Bernstein . Establece que para un polinomio P de grado n con derivada P ′ tenemos
Distribución estadística de las raíces
Si los coeficientes a i de un polinomio aleatorio se distribuyen de forma independiente e idéntica con una media de cero, la mayoría de las raíces complejas están en el círculo unitario o cerca de él. En particular, las raíces reales se encuentran en su mayoría cerca de ± 1 y, además, su número esperado es, en gran medida, menor que el logaritmo natural del grado.
Si los coeficientes tienen una distribución gaussiana con una media de cero y una varianza de σ , la densidad media de las raíces reales viene dada por la fórmula de Kac [20] [21]
dónde
Cuando los coeficientes tienen una distribución gaussiana con una media distinta de cero y una varianza de σ , se conoce una fórmula similar pero más compleja. [ cita requerida ]
Raíces reales
Para n grande , la densidad media de raíces reales cerca de x es asintóticamente
Si y
De ello se deduce que el número esperado de raíces reales es, utilizando la notación O grande
donde C es una constante aproximadamente igual a0,625 735 8072 . [22]
En otras palabras, el número esperado de raíces reales de un polinomio aleatorio de alto grado es menor que el logaritmo natural del grado .
Kac, Erdös y otros han demostrado que estos resultados son insensibles a la distribución de los coeficientes, si son independientes y tienen la misma distribución con media cero. Sin embargo, si la varianza del i- ésimo coeficiente es igual a el número esperado de raíces reales es [22]
Ver también
- Regla de los signos de Descartes : vínculo entre el número de raíces positivas de un polinomio y los signos de sus coeficientes
- Teorema de Marden : relación geométrica entre los ceros de un polinomio cúbico y su derivada
- Identidades de Newton : relaciones entre sumas de potencia y funciones simétricas elementales
- Función cuadrática # Límite superior de la magnitud de las raíces
- Aislamiento de raíz real : métodos para localizar raíces reales de un polinomio
- Búsqueda de raíces de polinomios : algoritmos para encontrar ceros de polinomios
- Polinomio libre de cuadrados : polinomio sin raíz repetida
- Fórmulas de Vieta : relaciones entre los coeficientes y las raíces de un polinomio
Notas
- ^ Hirst, Holly P .; Macey, Wade T. (1997). "Uniendo las raíces de los polinomios". The College Mathematics Journal . 28 (4): 292–295. JSTOR 2687152 .
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- ^ Marden, M. (1966). Geometría de polinomios . Amer. Matemáticas. Soc. ISBN 0-8218-1503-2.
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- ^ a b Edelman, Alan; Kostlan, Eric (1995). "¿Cuántos ceros de un polinomio aleatorio son reales?" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . 32 (1): 1–37. doi : 10.1090 / S0273-0979-1995-00571-9 .
Referencias
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- Yap, Chee-Keng (2000). Problemas fundamentales de álgebra algorítmica (PDF) . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0195125160..
enlaces externos
- La belleza de las raíces , una visualización de la distribución de todas las raíces de todos los polinomios con grados y coeficientes enteros en algún rango.