Movimiento browniano reflejado

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En la teoría de la probabilidad , el movimiento browniano reflejado (o movimiento browniano regulado , ^{[1] [2]} ambos con el acrónimo RBM ) es un proceso de Wiener en un espacio con límites reflectantes. ^[3]

Se ha demostrado que los RBM describen modelos de colas que experimentan mucho tráfico ^[2] , tal como lo propuso por primera vez Kingman ^[4] y lo probaron Iglehart y Whitt . ^{[5] [6]}

Un movimiento browniano reflejado de dimensión d Z es un proceso estocástico definido de forma única por${\ estilo de visualización \ mathbb {R} _ {+}^ {d}}$

La matriz de reflexión describe el comportamiento de los límites. En el interior del proceso se comporta como un proceso de Wiener ; en el límite "en términos generales, Z se empuja en la dirección R ^j cada vez que se golpea la superficie del límite , donde R ^j es la j -ésima columna de la matriz R ". ^[8]${\ estilo de pantalla \ estilo de script \ mathbb {R} _ {+}^ {d}}$${\displaystyle \scriptstyle \{z\in \mathbb {R} _{+}^{d}:z_{j}=0\}}$

Las condiciones de estabilidad son conocidas para RBM en 1, 2 y 3 dimensiones. "El problema de la clasificación de recurrencia para SRBM en cuatro y más dimensiones permanece abierto". ^[8] En el caso especial donde R es una matriz M, entonces las condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad son ^[8]

La distribución marginal (distribución transitoria) de un movimiento browniano unidimensional que comienza en 0 restringido a valores positivos (una única barrera reflectante en 0) con deriva μ y varianza σ ² es

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