Los números regulares son números que dividen uniformemente las potencias de 60 (o, de manera equivalente, las potencias de 30 ). Por ejemplo, 60 2 = 3600 = 48 × 75, por lo que tanto 48 como 75 son divisores de una potencia de 60. Por lo tanto, son números regulares . De manera equivalente, son los números cuyos únicos divisores primos son 2, 3 y 5.
Los números que dividen uniformemente las potencias de 60 surgen en varias áreas de las matemáticas y sus aplicaciones, y tienen diferentes nombres provenientes de estas diferentes áreas de estudio.
- En teoría de números, estos números se denominan 5 suaves , porque pueden caracterizarse por tener solo 2, 3 o 5 como factores primos . Este es un caso específico de los k más generales : números suaves , es decir, un conjunto de números que no tienen un factor primo mayor que k .
- En el estudio de las matemáticas babilónicas , los divisores de potencia de 60 se denominan números regulares o números sexagesimales regulares , y son de gran importancia debido al sistema numérico sexagesimal utilizado por los babilonios.
- En teoría musical , los números regulares ocurren en las proporciones de tonos en una entonación de cinco límites .
- En informática , los números regulares a menudo se denominan números de Hamming , en honor a Richard Hamming , quien propuso el problema de encontrar algoritmos informáticos para generar estos números en orden ascendente.
Teoría de los números
Formalmente, un número regular es un entero de la forma, para enteros no negativos , , y . Tal número es un divisor de. Los números regulares también se denominan 5 suaves , lo que indica que su mayor factor primo es como máximo 5.
Los primeros números regulares son
Varias otras secuencias en OEIS tienen definiciones que involucran números de 5 suaves. [2]
Aunque los números regulares parecen densos dentro del rango de 1 a 60, son bastante escasos entre los números enteros más grandes. Un numero regular es menor o igual que algún umbral si y solo si el punto pertenece al tetraedro delimitado por los planos de coordenadas y el plano
Matemáticas babilónicas
En la notación sexagesimal babilónica , el recíproco de un número regular tiene una representación finita, por lo que es fácil dividir entre. Específicamente, si divide , entonces la representación sexagesimal de es solo eso para , desplazado por varios lugares.
Por ejemplo, supongamos que deseamos dividir por el número regular 54 = 2 1 3 3 . 54 es un divisor de 60 3 , y 60 3 /54 = 4.000, por lo dividiendo por 54 en sexagesimal se puede lograr mediante la multiplicación por 4.000 y el desplazamiento de tres lugares. En sexagesimal 4000 = 1 × 3600 + 6 × 60 + 40 × 1, o (como lo enumera Joyce) 1: 6: 40. Por lo tanto, 1/54, en sexagesimal, es 1/60 + 6/60 2 + 40/60 3 , también denotado 1: 6: 40 ya que las convenciones de notación babilónica no especificaban la potencia del dígito inicial. A la inversa, 1/4000 = 54/60 3 , por lo que la división por 1: 6: 40 = 4000 se puede lograr multiplicando por 54 y cambiando tres lugares sexagesimales.
Los babilonios utilizaron tablas de recíprocos de números regulares, algunos de los cuales aún sobreviven (Sachs, 1947). Estas tablas existieron relativamente sin cambios a lo largo de la época babilónica. [5]
Aunque la razón principal para preferir números regulares a otros números involucra la finitud de sus recíprocos, algunos cálculos babilónicos distintos de los recíprocos también involucraron números regulares. Por ejemplo, se han encontrado tablas de cuadrados regulares [5] y Neugebauer ha interpretado la tablilla cuneiforme rota Plimpton 322 como una lista de triples pitagóricos generado por y tanto regulares como menores de 60. [6]
Teoría musical
En teoría musical , la entonación justa de la escala diatónica implica números regulares: los tonos en una sola octava de esta escala tienen frecuencias proporcionales a los números en la secuencia 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48 de casi números regulares consecutivos. Por lo tanto, para un instrumento con esta afinación, todos los tonos son armónicos de números regulares de una sola frecuencia fundamental . Esta escala se llama afinación de 5 límites , lo que significa que el intervalo entre dos tonos cualesquiera se puede describir como un producto 2 i 3 j 5 k de potencias de los números primos hasta 5, o de manera equivalente como una razón de números regulares.
También se han utilizado escalas musicales de 5 límites distintas de la escala diatónica familiar de la música occidental, tanto en las músicas tradicionales de otras culturas como en la música experimental moderna: Honingh y Bod (2005) enumeran 31 escalas diferentes de 5 límites, extraídas de una escala más amplia. base de datos de escalas musicales. Cada una de estas 31 escalas comparte con la entonación diatónica justa la propiedad de que todos los intervalos son proporciones de números regulares. El tonnetz de Euler proporciona una representación gráfica conveniente de los tonos en cualquier afinación de 5 límites, factorizando las relaciones de octava (potencias de dos) para que los valores restantes formen una cuadrícula plana . Algunos teóricos de la música han afirmado de manera más general que los números regulares son fundamentales para la música tonal en sí, y que las proporciones de tono basadas en números primos mayores que 5 no pueden ser consonantes . [7] Sin embargo, el temperamento igual de los pianos modernos no es una afinación de 5 límites, y algunos compositores modernos han experimentado con afinaciones basadas en números primos superiores a cinco.
En relación con la aplicación de números regulares a la teoría musical, es interesante encontrar pares de números regulares que difieran en uno. Hay exactamente diez pares de este tipo.[8] y cada uno de estos pares define una relación superparticular que es significativo como un intervalo musical. Estos intervalos son 2/1 (la octava ), 3/2 (la quinta perfecta ), 4/3 (la cuarta perfecta ), 5/4 (la tercera justa mayor ), 6/5 (la tercera menor justa ), 9 / 8 (el tono solo mayor ), 10/9 (el tono solo menor ), 16/15 (el semitono diatónico justo ), 25/24 (el semitono cromático justo ) y 81/80 (la coma sintónica ).
Algoritmos
Edsger Dijkstra popularizó los algoritmos para calcular los números regulares en orden ascendente . Dijkstra ( 1976 , 1981 ) atribuye a Hamming el problema de construir la secuencia ascendente infinita de todos los números 5 suaves; este problema se conoce ahora como problema de Hamming , y los números así generados también se denominan números de Hamming . Las ideas de Dijkstra para calcular estos números son las siguientes:
- La secuencia de números de Hamming comienza con el número 1.
- Los valores restantes en la secuencia son de la forma , , y , dónde es cualquier número de Hamming.
- Por tanto, la secuencia se puede generar dando salida al valor 1, y luego fusionando las secuencias, , y .
Este algoritmo se usa a menudo para demostrar el poder de un lenguaje de programación funcional perezoso , porque (implícitamente) implementaciones eficientes concurrentes, que usan un número constante de operaciones aritméticas por valor generado, se construyen fácilmente como se describe anteriormente. De manera similar, también son posibles implementaciones secuenciales estrictas funcionales o imperativas, mientras que las soluciones generativas explícitamente concurrentes podrían no ser triviales. [9]
En el lenguaje de programación Python , el código funcional perezoso para generar números regulares se usa como una de las pruebas integradas para verificar la exactitud de la implementación del lenguaje. [10]
Un problema relacionado, discutido por Knuth (1972) , es enumerar todos los-digitar números sexagesimales en orden ascendente, como se hizo para por Inakibit-Anu, el seléucida -era escriba de la tablilla AO6456. En términos algorítmicos, esto equivale a generar (en orden) la subsecuencia de la secuencia infinita de números regulares, que van desde a . Ver Gingerich (1965) para una descripción temprana del código de computadora que genera estos números fuera de orden y luego los ordena; Knuth describe un algoritmo ad hoc, que atribuye a Bruins (1970) , para generar los números de seis dígitos más rápidamente, pero que no se generaliza de manera directa a valores mayores de. Eppstein (2007) describe un algoritmo para calcular tablas de este tipo en tiempo lineal para valores arbitrarios de.
Otras aplicaciones
Heninger, Rains y Sloane (2006) muestran que, cuando es un número regular y es divisible por 8, la función generadora de un -dimensional extremal incluso unimodular celosía es unª potencia de un polinomio.
Al igual que con otras clases de números suaves , los números regulares son importantes como tamaños de problemas en programas de computadora para realizar la transformada rápida de Fourier , una técnica para analizar las frecuencias dominantes de señales en datos que varían en el tiempo . Por ejemplo, el método de Temperton (1992) requiere que la longitud de la transformada sea un número regular.
El libro VIII de La República de Platón involucra una alegoría del matrimonio centrada en el número muy regular 60 4 = 12,960,000 y sus divisores. Los eruditos posteriores han invocado tanto las matemáticas babilónicas como la teoría musical en un intento de explicar este pasaje. [11] (Véase el número de Platón ).
Notas
- ^ Inspirado en diagramas similares de Erkki Kurenniemi en "Acordes, escalas y celosías divisorias " .
- ^ Búsqueda OEIS de secuencias que implican suavidad 5 .
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A051037" , La enciclopedia en línea de secuencias de enteros , Fundación OEIS
- ^ Berndt, Bruce C .; Rankin, Robert Alexander, eds. (1995), Ramanujan: cartas y comentario , Historia de las matemáticas, 9 , American Mathematical Society, p. 23, ISBN 978-0-8218-0470-4.
- ↑ a b Aaboe (1965) .
- ^ Véase Conway y Guy (1996) para un tratamiento popular de esta interpretación. Plimpton 322 tiene otras interpretaciones, para las cuales vea su artículo, pero todas involucran números regulares.
- ↑ Asmussen (2001) , por ejemplo, afirma que "dentro de cualquier pieza de música tonal" todos los intervalos deben ser proporciones de números regulares, haciéndose eco de afirmaciones similares de escritores mucho más antiguos como Habens (1889) . En la literatura sobre teoría musical moderna, esta afirmación a menudo se atribuye a Longuet-Higgins (1962) , quien utilizó una disposición gráfica estrechamente relacionada con el tonnetz para organizar tonos de 5 límites.
- ↑ Halsey y Hewitt (1972) observan que esto se deriva del teorema de Størmer ( Størmer 1897 ) y proporciona una prueba para este caso; véase también Silver (1971) .
- ^ Ver, por ejemplo, Hemmendinger (1988) o Yuen (1992) .
- ^ Función m235 en test_generators.py .
- ^ Barton (1908) ; McClain (1974) .
Referencias
- Aaboe, Asger (1965), "Algunas tablas matemáticas seléucidas (recíprocos extendidos y cuadrados de números regulares)", Journal of Cuneiform Studies , The American Schools of Oriental Research, 19 (3): 79-86, doi : 10.2307 / 1359089 , JSTOR 1359089 , MR 0191779.
- Asmussen, Robert (2001), Periodicidad de las frecuencias sinusoidales como base para el análisis de la armonía barroca y clásica: un estudio basado en computadora (PDF) , Ph.D. tesis, Universidad de Leeds.
- Barton, George A. (1908), "Sobre el origen babilónico del número nupcial de Platón", Journal of the American Oriental Society , American Oriental Society, 29 : 210-219, doi : 10.2307 / 592627 , JSTOR 592627.
- Bruins, EM (1970), "La construcción de la grande table le valeurs réciproques AO 6456", en Finet, André (ed.), Actes de la XVII e Rencontre Assyriologique Internationale , Comité belge de recherches en Mésopotamie, págs. 99– 115.
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- Dijkstra, Edsger W. (1981), ejercicio de Hamming en SASL (PDF) , Informe EWD792. Originalmente una nota manuscrita de circulación privada.
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- Yuen, CK (1992), "Números de Hamming, evaluación perezosa y eliminación ansiosa", Avisos ACM SIGPLAN , 27 (8): 71–75, doi : 10.1145 / 142137.142151.
enlaces externos
- Tabla de recíprocos de números regulares hasta 3600 del sitio web del profesor David E. Joyce, Clark University.
- RosettaCode Generación de Hamming_numbers en ~ 50 lenguajes de programación