Punto singular regular
En matemáticas , en la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias en el plano complejo , los puntos de se clasifican en puntos ordinarios , en los que los coeficientes de la ecuación son funciones analíticas , y puntos singulares , en los que algún coeficiente tiene una singularidad . Luego, entre los puntos singulares, se hace una distinción importante entre un punto singular regular , donde el crecimiento de las soluciones está limitado (en cualquier sector pequeño) por una función algebraica, y un punto singular irregular , donde el conjunto completo de soluciones requiere funciones con mayor crecimiento. tarifas Esta distinción se produce, por ejemplo, entre laecuación hipergeométrica , con tres puntos singulares regulares, y la ecuación de Bessel, que en cierto sentido es un caso límite , pero donde las propiedades analíticas son sustancialmente diferentes.
Si este no es el caso, la ecuación anterior tiene que ser dividida por p n ( x ) . Esto puede introducir puntos singulares a considerar.
La ecuación debe estudiarse en la esfera de Riemann para incluir el punto en el infinito como un posible punto singular. Se puede aplicar una transformación de Möbius para mover ∞ a la parte finita del plano complejo si es necesario, consulte el ejemplo de la ecuación diferencial de Bessel a continuación.
Luego , se puede aplicar el método de Frobenius basado en la ecuación indicial para encontrar posibles soluciones que sean series de potencias por potencias complejas ( z − a ) r cerca de cualquier a dada en el plano complejo donde r no necesita ser un número entero; esta función puede existir, por lo tanto, solo gracias a un corte de rama que se extiende desde un , o en una superficie de Riemann de algún disco perforado alrededor de un . Esto no presenta ninguna dificultad para un punto ordinario ( Lazarus Fuchs 1866). cuando unes un punto singular regular , lo que por definición significa que
De lo contrario, el punto a es una singularidad irregular . En ese caso, el grupo monodrómico que relaciona soluciones por continuación analítica tiene menos que decir en general, y las soluciones son más difíciles de estudiar, excepto en términos de sus expansiones asintóticas. La irregularidad de una singularidad irregular se mide por el rango de Poincaré ( Arscott (1995) ).
La condición de regularidad es una especie de condición de polígono de Newton , en el sentido de que los polos permitidos están en una región, cuando se grafican frente a i , limitada por una línea a 45° de los ejes.